Question

如图，三角形ABC中，角C=90度，点O在BC上，以OC为半径的半圆切AB于点E，交BC于点D，若BE=4，BD=2，求圆O

的半径和边AC的长

Answer 1

解：根据切割线定理得BE2=BD•BC，
∵BC=BD+2OD，
∴BD•（BD+2OD）=BE2，
解得：OD=3，
则BC=BD+2OD=8；
又∵AE、AC都是⊙O的切线，
∴AE=AC，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=（AE+BE）2；
∴64+AC2=（AC+4）2，
∴AC=6．
综上，⊙O的半径为3和边AC的长为6．

Answer 2

设半径为r，AC的长为x. BC=2r+2.
因为三角形AEO与三角形ACO全等，所以AE=AC=x AB=4+x
则因为三角形ACB与三角形OEB相似，OE/CA=BO/BA. 则 x/(2r+2)=r/4

又根据勾股定律，. BC*BC+AC*AC=AB*AB则（2r+2)*(2r+2)+x*x=(4+x)(4+x)
得r=3,x=6

Answer 3