Question

集合的基本运算

已知A=｛x|x²-ax+a²-19=0｝,B=｛x|x²-5x+6=0｝,且A,B满足下列三个条件:①A≠B,②A∪B=B,③空集是(A∩B)的真子集.试问这样的实数a是否存在？若存在，求出a值，若不存在，说明理由。

请问第三个条件是什么意思？为什么A不能是空集？谢谢

Answer 1

由于A中的元素都是x²-ax+a²-19=0方程的解，那么A中至多有两个元素，A∪B=B，B={2,3}，所以A至多有2,3，又由于A≠B，所以A中至多能有2,3中一个元素，最后，空集是A∩B的真子集，所以A∩B不是空集，那么A中只能是2或者3
所以方程x²-ax+a²-19=0只有一个根Δ=0，解得a²=76/3，这样该方程的解应该是x=a/2既不是2也不是3，所以a是不存在的

Answer 2

空集是(A∩B)的真子集（空集是任何非空子集的真子集）
A∩B不为空集 B不是空集 所以A也不是空集
B:(x-2)(x-3)=0
B={2,3}
设x=2是A的解
4-2a+a^2-19=0
a^2-2a-15=0
(a-5)(a+3)=0
a=5或a=-3
a=5时 x^2-5x+6=0 (舍去)
a=-3时 x^2+3x-10=0 (x-2)(x+5)=0 舍去
设x=3是A的解
9-3a+a^2-19=0
a^2-3a-10=0
(a-5)(a+2)=0
a=5(舍去)
a=-2时
x^2+2x-15=0
(x-3)(x+5)=0 (舍去)

a不存在