Question

设根号5-1分之根号5+1的整数部分为a，小数部分为b，求a^2+2分之一ab+b^2的值。帮忙解答一下，

（x-y分之x根号x-y根号y）除以根号x+根号y分之x+根号xy+y

Answer 1

解第1题：

根号5-1分之根号5+1=(√5+1)/(√5-1)
=(√5+1)²/[(√5+1)(√5-1)]
=(√5²+2×√5×1+1²)/(√5²-1²)
=(5+2√5+1)/(5-1)
=(6+2√5)/4
=(3+√5)/2
∵2﹤√5﹤3
∴5﹤3+√5﹤6
∴5/2﹤(3+√5)/2﹤3
∴a=2 , b=(3+√5)/2 - 2=(√5-1)/2
a²+2分之一ab+b²=a²+(1/2)ab+b²
=2²+(1/2)×2×(√5-1)/2 +[(√5-1)/2]²
=4+(√5-1)/2+(√5²-2×√5×1+1²)/4
=4+(√5-1)/2+(5-2√5+1)/4
=4+(√5-1)/2+(3-√5)/2
=4+(√5-1+3-√5)/2
=4+1
=5
解第2题：要利用立方差公式 a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 和平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b)
原式=[ (x√x-y√y)/(x-y) ]÷{ [ x+√(xy)+y ]/(√x+√y) }
=[ (√x³-√y³)/(√x²-√y²) ] × { (√x+√y)/[ √x²+√(xy)+√y² ] }
={ (√x-√y)[√x²+√(xy)+√y² ]/[ (√x+√y)(√x-√y) ] } × { (√x+√y)/[ √x²+√(xy)+√y² ] }
=1

Answer 2

分母有理化得(√5+1)/(√5-1)= (3+√5)/2
因为2<√5<3，所以2.5< (3+√5)/2<3，
所以原式的整数部分为2，即a=2，进而b=[(3+√5)/2]-a=[(3+√5)/2]-2= (-1+√5)/2
所以a²+(ab/2)+b²=2²+(2b/2)+b²=4+b+b²=[b+(1/2)]²+(15/4)=[ (-1+√5)/2+(1/2)]²+(15/4)=5。