Question

高分悬赏！！求解一道数学题！！

正△ABC中，AB=AC=BC=6，AD⊥BC，E是AD上一点（不与A、D重合），O、P、Q分别是△ABE、△ACE、△BCE内心。设AE=x，△OPQ的面积为y。
（1） 求△ABC的面积。
（2） 求证：AD垂直平分OP。
（3） 当E是△ABC内心时，求x、y的值。
（4） 是否存在一个x值使得OP经过E？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由。
（5） 是否存在一个x值使得E是△OPQ的内心？若存在，求出x、y的值；若不存在，请说明理由。
（6） 求出y与x的函数关系式。
(要有详细解答过程）

Answer 1

(1)面积为9根号3,这个就不说了..
(2)因为ABE和ACE是关手AE对称的,所以内心O与P也是关于AE对称的,所以AD垂直平分OP....
(3)当E是△ABC内心时,E为ABC三中线的交点,X=(2/3)AB=2根号3
(4)不存在..如果存在一个x值使得OP经过E,那第E为OP与AD的交点的话,即E为三角形ABE和ACE的顶点同时也是圆O和P两个内接圆上的一点,三角形的顶点是不可能是其内接圆上的点的....
(5)和第三题一样,E为ABD中心的时候...

Answer 2

（1） S=1/2*AD*BC=9*（√3）
（2） 设OP连线交AD于N,则
∵AD⊥BC BD=CD
∴直角ΔBDN≌直角ΔCDN
∴∠NBC=∠NCB
∴∠ABN=60°-∠NBC=60°-∠NCB=∠NCA
又∵BO和CP分别为∠ABN和∠NCA的角平分线
∴∠ABO=1/2*∠NBC=1/2*∠ACN=∠ACP

连接A0,AP则：
AD平分∠BAC(正三角形垂线同时是角平分线和中线)
即∠BAD=∠CAD
又∵AO,AP分别为∠BAD和∠CAD的角平分线
∴∠BAO=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠CAP
又∵AB=AC
∴ΔABO≌ΔACP (角边角)
∴AO=AP

又∵∠OAN=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠PAN
∴ΔOBE≌ΔPCE (边角边)
∴ON=PN
∠ANO=∠ANP
又∵∠ANO+∠ANP=180°
∴∠ANO=90°

（3） E为ΔABC的内心
∵∠OAN=1/2*∠ABC=30°
∴DE=(√3)/3*BD==√3
∴x=AE=AD-DE=3*(√3)-√3=2*(√3)

延长BE,CE分别交AC,AB于M,L
可证点O,P，Q分别在CL,BM,AD上
(等腰三角形顶角平分线垂直平分底边)
∵直角ΔALO≌直角ΔANO
∴ON=OL=AL*tan(15°)=3*tan(15°)
∴OP=2*ON=6*tan(15°)

同理可得PQ=OQ=6*tan(15°)
即ΔOPQ为边长为6*tan(15°)的等边三角形
y=1/2*OP*OP*((√3)/2)=9*(√3)*(tan(15°))^2

累，先到这儿吧。。

Answer 3

(1)9根号3
(2)三角形ABE全等于三角形ACE
AO=AP EO=EP
所以三角形AOE全等于三角形APE
所以AE是OP的中垂线
所以AD是OP的中垂线
(3)当E为内心时
由于三角形ABC是等边三角形 所以E也是重心和垂心
所以AE=2/3*AD=2/3 *(3根号3)=2根号3
而此时OPQ所组成的三角形是等边三角形，E是三角形OPQ的中心
EQ/QD=EB/DB=(根号3)/2
EQ+QD=ED=1/3AD=根号3
所以EQ=6-3根号3
所以OQ=根号3*EQ=18-9根号3
所以三角形OPQ的面积是(567根号3-972)/4
即x=2根号3 y=(567根号3-972)/4
(4)不存在
因为OP垂直AE
所以一旦OP经过E点
则角AEB=2*角AEO=π
这显然是不可能的
(5)存在 E即是三角形ABC的中心
但是我不会证明
(6)不会做 太繁了。。

Answer 4

自己钻研，仔细一下就出来了

Answer 5

（1） S=1/2*AD*BC=9*（√3）
（2） 设OP连线交AD于N,则
∵AD⊥BC BD=CD
∴直角ΔBDN≌直角ΔCDN
∴∠NBC=∠NCB
∴∠ABN=60°-∠NBC=60°-∠NCB=∠NCA
又∵BO和CP分别为∠ABN和∠NCA的角平分线
∴∠ABO=1/2*∠NBC=1/2*∠ACN=∠ACP

连接A0,AP则：
AD平分∠BAC(正三角形垂线同时是角平分线和中线)
即∠BAD=∠CAD
又∵AO,AP分别为∠BAD和∠CAD的角平分线
∴∠BAO=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠CAP
又∵AB=AC
∴ΔABO≌ΔACP (角边角)
∴AO=AP

又∵∠OAN=1/2*∠BAD=1/2*∠CAD=∠PAN
∴ΔOBE≌ΔPCE (边角边)
∴ON=PN
∠ANO=∠ANP
又∵∠ANO+∠ANP=180°
∴∠ANO=90°

（3） E为ΔABC的内心
∵∠OAN=1/2*∠ABC=30°
∴DE=(√3)/3*BD==√3
∴x=AE=AD-DE=3*(√3)-√3=2*(√3)

延长BE,CE分别交AC,AB于M,L
可证点O,P，Q分别在CL,BM,AD上
(等腰三角形顶角平分线垂直平分底边)
∵直角ΔALO≌直角ΔANO
∴ON=OL=AL*tan(15°)=3*tan(15°)
∴OP=2*ON=6*tan(15°)

同理可得PQ=OQ=6*tan(15°)
即ΔOPQ为边长为6*tan(15°)的等边三角形
y=1/2*OP*OP*((√3)/2)=9*(√3)*(tan(15°))^2