Question

一个函数极限命题的疑问，写在图片上了，求高手帮忙！

见图

Answer 1

不论有没有单调性, 都有反例.
例如取f(x)为Dirichlet函数: 当x为有理数时, f(x) = 1, 当x为无理数时, f(x) = 0.
可知极限lim{x → 0} f(x)不存在.

再取g(x), 当1/2 ≤ x < 1时, g(x) = 1/2, 当1/3 ≤ x < 1/2时, g(x) = 1/3,...
当1/n ≤ x < 1/(n-1)时, g(x) = 1/n,...
此外g(0) = 0, g(-x) = -g(x).
可知g(x)单调递增, lim{x → 0} g(x) = 0.

然而, g(x)取值总为有理数, 因此f(g(x)) = 1, lim{x → 0} f(g(x)) = 1.
但是不成立lim{x → 0} f(x) = 1.

究其原因, 即便g(x)是单调的, 也不保证在x → c的过程中能取遍a附近的所有值.
所以lim{x → c} f(g(x)) = b只给出了f(x)在a的邻域中部分点处的信息.
不能得到完全的收敛性.

证明中的问题出在令x = g(h)这一步.
lim{x → a} f(x) = b按定义是指:
任给ε > 0, 存在δ > 0使0 < |x-a| < δ时恒有|f(x)-b| < ε.
但是并不是对任意满足0 < |x-a| < δ的x都能找到h使g(h) = x.
建议在用ε-δ证明极限时把逻辑写清楚.
比如要证lim{x → a} f(x) = b, 就写如何对ε > 0找到δ > 0,
如何对0 < |x-a| < δ证明不等式|f(x)-b| < ε.
按逻辑顺序写, 比较容易发现问题.

追问

你好，谢谢你的回答，但由于我是初学者，我并不是很理解，但是我想，如果补充上“函数是连续的”的话这样的证明还有问题吗？
还有就是你说我的ε-δ证明没写清楚，但是我就是按照你所说的“任给ε > 0, 存在δ > 0使0 < |x-a| < δ时恒有|f(x)-b| < ε”来的呀，只不过是把x换成g(h)而已啊

追答

具体要加上什么样的连续条件?
(1) 如果是f(x)在a连续, 那么结论成立.
因为lim{x → a} f(x)存在, 同时又存在一个点列{xk}收敛到a, 使lim{k → ∞} f(xk) = b.
但是这样一改就变成完全不同的题目了.
(2) 如果只是g(x)在c连续, 上面的反例其实已经是在c连续的了.
(3) 比较有希望的是g(x)在c的一个邻域上连续.
但这其实有一个很简单的反例, 因为不容易说明问题所以之前没写:
f(x)同样取Dirichlet函数, 然后取g(x)恒等于0.
g(x)单调且连续, f(g(x))恒等于1, 但是lim{x → 0} f(x)不存在.
归根结底还是那个问题: g(x)不能取遍a的邻域.
由于连续函数有介值定理, 如果在"g(x)在c的一个邻域上连续"之外,
再加上条件"在c的任意邻域内, g(x)都能取得大于a和小于a的值",
那么结论是成立的.

我认为正确的逻辑顺序应该是这样的:
对x满足0 < |x-a| < δ1, 证明存在h满足|h-c| < δ2, 使x = g(h).
于是|f(x)-b| = |f(g(h))-b| < ε2.
也就是先有x再有h, 而不是先有h再有x.

初学没关系, 有疑问欢迎追问.

追问

你说的(1)中的“成立”是指原命题还是单调的情况？因为楼下好像有一个关于原命题的反例

追答

(1) 是这样叙述的: 如果f(x)在a处连续, 并成立
lim{x → c} g(x) = a, lim{x → c} f(g(x)) = b, 则有lim{x → a} f(x) = b.
因为已经要求lim{x → a} f(x)存在, 只需要证明其等于b即可.
不需要g(x)单调或连续的条件.
这与楼下所给的反例不矛盾, 因为"结论不成立的函数"f(x)必然不在a连续.

(3) 中还给出了一个成立的命题:
如果g(x)在c的一个邻域内连续, 且在c的任意邻域内都可取得大于a与小于a的值,
并成立lim{x → c} g(x) = a, lim{x → c} f(g(x)) = b, 则有lim{x → a} f(x) = b.
这里"在c的任意邻域内都可取得大于a与小于a的值"就排除了g(x)取常值的情况.

Answer 2

是有反例。只要g(h)恒等于a, f(a)=b, 则命题假设都成立。然后，随便找一个结论不成立的函数f即可。

Answer 3

个人觉得是错误的 不能确定f极限的存在性 证明过程的（1）有问题