Question

已知一抛物线的形状与抛物线y=(1/2)x^2+1/2相同，它的对称轴是直线x=-2，它与x轴的两个交点之间的距离为2

已知一抛物线的形状与抛物线y=(1/2)x^2+1/2相同，它的对称轴是直线x=-2，它与x轴的两个交点之间的距离为2，求此抛物线的解析式

Answer 1

对称轴是直线x= -2,与x轴的两个交点之间的距离为2, 则交点为A(-3, 0), B(-1, 0)

y = a(x + 3)(x + 1) = ax² + 4ax + 3a

形状与抛物线y=(1/2)x²+1/2相同, 则可通过平移得到

y = (1/2)(x - m)²+ n + 1/2 = (1/2)x² - mx +(m² + 1)/2 + n

比较x²的系数: a = 1/2

抛物线的解析式: y = x²/2 + 2x + 3/2

见图，为了清楚，还画了y = (1/2)(x +2)²+1/2 (没考虑旋转，否则将y = x²/2 + 2x + 3/2翻折得y = -(x²/2 + 2x + 3/2))

Answer 2

已知一抛物线的形状与抛物线y=(1/2)x^2+1/2相同，它的对称轴是直线x=-2，则其表达式可写成
y=(1/2)（x+2）^2+1/2+k
当y=0时有
x^2+4x+5+2k=0
x1+x2=-4
x1x2=5+2k
|x1-x2|=√(-4-8k)
由它与x轴的两个交点之间的距离为2，有
k=-1
此抛物线的解析式为
y=x^2+4x+3

追问

为什么不是y=(1/2)x^2+2x+3/2或y=(-1/2)x^2-2x-3/2