Question

已知函数f(x)=ax^2+(2a-1)x-3 (a≠0)在区间[-3/2,2]上的最大值为3，求实数a的值。

Answer 1

a>0时，抛物线开口向上，最大值3一定在区间端点取得（值较大的一个端点），
下面先写出端点值——
f(-3/2)=9a/4-3(2a-1)/2-3=9a/4-3a+3/2-3=-3a/4-3/2
f(2)=4a+2(2a-1)-3=4a+4a-2-3=8a-5
令f(-3/2)=-3a/4-3/2≤8a-5=f(2)，解得a≤2/5，于是可知
0<a≤2/5时，最大值f(2)=8a-5=3，于是a=1，不满足0<a≤2/5，舍去。
a>2/5时，最大值f(-3/2)=-3a/4-3/2=3，于是a=-6，不满足a>2/5，舍去。

a<0时，抛物线开口向下，对称轴x=(1-2a)/(2a)=-1+1/(2a)，若对称轴在区间内，则
-1+1/(2a)>-3/2
解得a<-1，于是可知
a<-1时，对称轴处最大值f((1-2a)/(2a))=a(1-2a)²/(2a)²+(2a-1)(1-2a)/(2a)-3=-(2a-1)²/(4a)-3=3，
于是a=(-5-2√6)/2.（另一根不满足a<-1舍去）
-1≤a<0时，最大值3又一定取区间较大的端点值，此时满足a≤2/5，由上段知f(-3/2)≤f(2)，
于是最大值f(2)=3，由上段知此时a=1，不满足-1≤a<0，舍去。

综合上述，a=(-5-2√6)/2.

追问

令f(-3/2)=-3a/4-3/2≤8a-5=f(2)，解得a≤2/5，解错了吧，a=1是正确的

追答

呵呵，很好，为你答题我很高兴，是我失误了。

a>0时，抛物线开口向上，最大值3一定在区间端点取得（值较大的一个端点），
下面先写出端点值——
f(-3/2)=9a/4-3(2a-1)/2-3=9a/4-3a+3/2-3=-3a/4-3/2
f(2)=4a+2(2a-1)-3=4a+4a-2-3=8a-5
令f(-3/2)=-3a/4-3/2≤8a-5=f(2)，解得a≥2/5，于是可知
02/5时，最大值f(2)=8a-5=3，于是a=1，满足a>2/5.

a-3/2
解得a<-1，于是可知
a<-1时，对称轴处最大值f((1-2a)/(2a))=a(1-2a)²/(2a)²+(2a-1)(1-2a)/(2a)-3=-(2a-1)²/(4a)-3=3，
于是a=(-5-2√6)/2.（另一根不满足a<-1舍去）
-1≤a<0时，最大值3又一定取区间较大的端点值，此时满足a≤2/5，由上段知f(-3/2)≥f(2)，
于是最大值f(-3/2)=3，由上段知此时a=-6，不满足-1≤a<0，舍去。

综合上述，a=1或a=(-5-2√6)/2.