Question

高中数学函数导数

若关于x的方程lnx-mx=0存在两个不同的实数解,求m范围。答案为(0,1/e)。求用lnx=mx,然后好像其中一个斜率小于切点斜率的解法!!!!!!!

Answer 1

y=lnx的函数图像已知，y=mx的函数图像是过原点的一条直线，只要与y=lnx有两个交点就满足条件，显然直线斜率从0开始慢慢往上太高知道与y=lnx相切，是临界点，再增大就无解了，相切时有lnx=mx,1/x=m(斜率相等)，解得m=1/e,所以答案为(0,1/e)。

Answer 2

lnx=mx有两个不同的实数解,即f(x)=lnx与y=mx图像有两个交点,
在f(x)=lnx上任取一点P(x0,lnx0)这一点的切线斜率为f'(x0)=1/x0,过P点连接O点得直线l,则直线l即为f(x)在P点的切线,令直线l：y=mx,则m=1/x0,则x0=1/m,得到P点坐标（1/m,ln1/m）,又∵P点在直线l上,∴ln1/m=1,m=1/e
根据图像,若f(x)=lnx与y=mx图像有两个交点,则斜率0<k<1/e