Question

如图1 在平面直角坐标系中A(a,0)

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2），且|2a+b+1|+（a+2b-4）2=0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=
1
2
△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=
1
2
△ABC的面积仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，
∠OPD
∠DOE
的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．

Answer 1

在Y轴负半轴上有符合条件的点M，为（0，(1)∵|2a+b+1|+(a+2b-4)²=0.
∴2a+b+1=0,且a+2b-4=0.
解得:a= -2, b=3.
(2)∵S⊿COM/S⊿CAB=1/2.
∴OM/AB=1/2;(同高的三角形面积比等于底边之比）
∴OM=AB/2=[3-(-2)]/2=5/2,即X轴正半轴上的点M为(5/2,0);
在X轴负半轴上有符合条件的点M，为（-5/2，0）；
在Y轴正半轴上有符合条件的点M，为（0，5）；（0，-5）。
(3)∠OPD/∠DOE的值不变，总等于2。
解:设垂直于OE的直线OF交直线CP于F.
∵∠EOF=∠DOB=90°(已知)
∴∠DOE=∠BOF;
∵2∠POE+2∠POF=2(∠POE+∠POF)=180°,即∠POA+2∠POF=180°;
又∠POA+∠POF+∠BOF=180°.(平角的定义)
∴∠POF=∠BOF,故∠POB=2∠BOF=2∠DOE;
又PD∥OP,故∠OPD=∠POB=2∠DOE, ∠OPD/∠DOE=2.