Question

已知:△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°。如图甲,连接DE,设M为DE的中点。

说明：MB=MC

为什么BF=CF？





Answer 1

证明：延长CM交DB的延长线于点G

∵∠ABD=∠ACE=90

∴BD∥CE，∠ABG＝90

∴∠GDM＝∠CEM，∠G＝∠ECM

∵M是DE的中点

∴DM＝EM

∴△DGM≌△ECM  （AAS）

∴GM＝CM

∴BM是RT△BGC的中线

∴BM＝CM

Answer 2

上面证明逻辑不清楚。
证明到DM = ME 后，延长EC交AD于H，FM交AB于K
按三角形中位线定理，在△DEH中，FM为中位线，所以，DF = FH
按平行线分线段成比例定理，因为，DF = FH，DB∥FM∥EH，所以，BK = KC
所以，MF是BC中垂线
MB = MC

Answer 3

证明：（1）在AD上取点F，使MF∥CE，则MF∥CE∥BD．
∵CE⊥AB，DB⊥AB，
∴MF⊥AB，
∵M为DE的中点，
∴DM=ME，
∴BF=CF，
∴MF是BC的中垂线，
∴MB=MC；

追问

为什么BF=CF？

Answer 4

1：
证明：
在BC上取点F，使得MF‖CE‖BD
∵CE⊥AB，DB⊥AB
∴MF⊥AB
∵DM=ME
∴BF=CF
∴MF是BC的中垂线
∴MB=MC
证毕！
2：
MB=MC成立的！
证明：
取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG
显然线段MG、MF都是△ADE的中位线
∴四边形MFAG是平行四边形，MG=AD/2，MF=AE/2
∴∠MFA=∠AGM
又∵∠DBA=∠ACE=90°
∴Rt△斜边中线BF=AD/2=MG，CG=AE/2=MF
∵∠DAB=∠CAE
∴∠BDA=∠CEA
∴∠BFA=2∠BDA=2∠CEA=∠CGA
∴∠BFM=∠BFA-∠MFA=∠CGA-∠AGM=∠MGC
∴△BFM≌△MGC
∴MB=MC
证毕！