Question

已知双曲线X^2-Y^2=1,椭圆与该双曲线共焦点，且经过点（2，3），求（1)椭圆的左右顶点分别是A，B，右焦点

F，直线L为椭圆的有准线，N为L的一动点，且在X轴的上方，直线AN与椭圆交与点M. 若AM=MN，求角AMB的余弦值 设过A，F，N三点的圆与Y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点为（0，9）时，求这个圆
应该是X^2-y^2/3=1

Answer 1

（1）双迅滚曲线X^2-Y^2/3=1的焦点是（土2,0),
设所求椭圆亩岩余方程是x^2/(b^2+4)+y^2/b^2=1,
它过点(2,3),
∴4/(b^2+4)+9/b^2=1,
4b^2+9b^2+36=b^4+4b^2,
b^4-9b^2-36=0,b^2>0,
∴b^2=12,
∴椭圆方程是枣银x^2/16+y^2/12=1.其左右顶点分别是A(-4,0)，B(4,0),右焦点F(2,0),N(8,n),
AN:y=n(x+4)/12与椭圆交于M(4(108-n^2)/(108+n^2),72n/(108+n^2)),
AM=MN,
[4(108-n^2)/(108+n^2)+4]^2+[72n/(108+n^2)]^2
=[4(108-n^2)/(108+n^2)-8]^2+[72n/(108+n^2)-n]^2,
∴12[8(108-n^2)/(108+n^2)-4]+n[144n/(108+n^2)-n]=0,
48(108-3n^2)+n^2(36-n^2)=0,
n^4+108n^2-48*108=0,
∴n^2=36,n=土6.M(2，土3），
当M(2，3)时MA=(-6，-3),MB=(2，-3),|MA|=3√5，|MB|=√13，MA*MB=-3,
cosAMB=-√65/65，
当M(2，-3)时cosAMB=-√65/65.
（2）？

追问

圆的方程的、、

追答

过A，F，N三点的圆已定，怎能使线段PQ的中点为（0，9）？
请检查题目

追问

题目没错啊！难道出题人出错了？

追答

也许题目有误。