Question

求非齐次线性方程组基础解系时，自由变量为什么要依次赋值基本向量？

不好意思上一个问题我打错名称了。。。
我就是想问：为什么把n-r(A)个基本向量带入方程之后得出来的解向量组能保证线性无关呢？
如果随便让自由变量取n-r(A)个线性无关的向量带到方程组里得到的解向量组是否也线性无关？
能否用抽象的线性相关的定理解释下？这是否和基本向量性质有关？

Answer 1

有个定理你可能没注意到: 线性无关的向量组添加若干个分量仍线性无关
这个结论就可解释你的问题
随便让自由变量取n-r(A)个线性无关的向量带到方程组里得到的解向量组 仍是 线性无关的

但是为了计算简单, 所以一般取基本向量

追问

哦！！对对。。。！线性无关向量组里每个向量再添加相同维数依然线性无关！以前曾总结过。。忘了多谢刘老师！

我还想问问：一个向量组的向量个数和每个向量的维数对于这个向量组形成线性相关或者线性无关有什么样的联系吗？课本上的一些定理总让我感觉 “向量个数”，“向量维数”对 “相关“，”无关“有千丝万缕的联系的，有明确说这种关系的结论吗？比如哪个量多到一定程度就一定”相关“或者”无关“
？

追答

个数大于维数则线性相关