Question

已知a<b<c ,比较a^2b+b^2c+c^2a和ab^2+bc^2+ca^2大小

不等式已知a＜b＜c,求证a^2b+b^2c+c^2a>ab^2+bc^2+ca^2

Answer 1

a^2b+b^2c+c^2a>ab^2+bc^2+ca^2

<==> a^2*(b-c)+b^2*(c-a)+c^2*(a-b)＞0
<==> a^2*(b-c)+b^2*(c-a)-c^2*[(b-c)+(c-a)]＞0
<==> (a^2-c^2)*(b-c)+(b^2-c^2)(c-a)＞0
<==> (a+c)(a-c)(b-c)-(b+c)(b-c)(a-c)＞0
<==> (a-c)(b-c)(a-b)＞0
因为a＜b＜c
所以，a-c＜0；b-c＜0，a-b＜0
所以，(a-c)(b-c)(a-b)＜0
——原命题错误！应该是＜，而不是＞！！！

Answer 2

(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)
=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
=a^2(b-c)+b^2(c-b+b-a)+c^2(a-b)
=a^2(b-c)+b^2(c-b)+b^2(b-a)+c^2(a-b)
=(b-c)(a^2-b^2)+(b-a)(b^2-c^2)
=(b-c)(a-b)(a+b)+(b-a)(b-c)(b+c)
=(b-c)(a-b)(a-c)
∵a＞b＞c
∴b-c＜0，
a-b＜0，
a-c＜0.
∴a^2b+b^2c+c^2a-ab^2+bc^2+ca^2＞0，
即： a^2b+b^2c+c^2a＞ab^2+bc^2+ca^2。