Question

一道复变函数积分变换的题

Answer 1

g(x)满足的积分方程式可用卷积表示为：g(x)=f(x)+g(x)*h(x). 其中g(x)*h(x)定义为∫[-∞,∞]g(y)h(x-y)dy，h(x)按1中定义。
两侧取傅里叶变换：设f(x),g(x),h(x)的傅里叶变换为F(w),G(w),H(w)，根据卷积定理，g(x)*h(x)的福利叶变换为sqrt(2π)G(w)H(w)。再根据线性性，有G(w)=F(w)+sqrt(2π)G(w)H(w)，G(w)=F(w)/(1-sqrt(2π)G(w))
利用定义式积分可求出F(w)=1/sqrt(2π)(1/(1+iw)-1/(1-iw))，H(w)=1/sqrt(2π)(1/(1-iw)).
故G(w)=1/sqrt(2π) (1/(1+iw)-1/(1-iw))/(1-1/(1-iw))=1/sqrt(2π)*2/(1+iw).
可以看出g(x)=2e^{-x},x>=0;0,x<0，G(w)正是其傅里叶变换。

追问

感谢！！！有一点儿不明白：
1、第一行. 其中g(x)*h(x)定义为∫[-∞,∞]g(y)h(x-y)dy----------可是题中的积分范围是[x,∞]，这里是怎么变过去的？

2、根据卷积定理，g(x)*h(x)的福利叶变换为sqrt(2π)G(w)H(w)-----这里没有sqrt(2π)吧
3、还有之后的两问也拜托了。。大神啊。。( ⊙o⊙?)

追答

1. 根据h(x)定义，h(x-y)在y>=x时为e^{x-y}，在y<x时为0，所以∫(-∞,∞)g(y)h(x-y)dy=∫[x,∞)g(y)e^{x-y}dy.

2. 2π的位置和傅里叶变换的定义有关。本题中定义的傅里叶变换是F{g(x)}=G(w)=1/sqrt(2π)∫(-∞,∞)g(x)e^{-iwx}dx，按这个定义卷积定理F{g(x)*h(x)}=sqrt(2π)G(w)H(w)。如果采用通常的定义F{g(x)}=G(w)=∫(-∞,∞)g(x)e^{-iwx}dx，则F{g(x)*h(x)}=G(w)H(w)。傅里叶变换有数种2π位置有所差异的定义，自圆其说即可。

3. 题中的1、2、3是线索提示，指导你逐步求出g(x)。你说的后两问指哪个问题啊？

追问

2、求a（z）的孤立奇点和留数
3、求g（x）
这两个也是问题。。。可能我写的格式不太清晰。。。

追答

a(z)的孤立奇点是z=i，留数是e^{-x}；z=∞，留数是-e^{-x}.

g(x)不是已经求出来了吗...