Question

如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D.E分别是AC,CC1的中点

1。求证：AE垂直平面A1BD
2，求二面角D-BA1-A的余弦值
3.求点B1到平面A1BD的距离

Answer 1

（1）

(2)记A1D交AE于F，过F做FH垂直A1B交于H点，连接AH

证明角AHF即为所求二面角的平面角（如下）

的平面角

因为三棱柱棱长均为2

A1A⊥AB且=2

所以AH=√2

       AF=5／2√5

所以在Rt△AHF中

sin∠AHF=AF／AH=5／√10

cos∠AHF=5／√15

（3）取A1C1中点K连接B1K, KC, B1C ，KC交AE于Q

B1K∥BD

KC∥A1D

平面B1KC∥平面A1B1C

又因为AE⊥平面A1BD

所以AE⊥平面B1KC1

所以FQ即为所求 为5／2√5

Answer 2

注意：‖ 就是平行符号，在提交时被自动改了。
(1)
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱
∴CC1⊥底面ABC
∴CC1⊥AB ……①
∵∠ACB=90° 且 AC=BC
∴CD⊥AB ……②
综合①②得：AB⊥平面CC1D
∴AB⊥C1D
又∵A1B1‖AB
∴A1B1‖C1D
(2)
∵D、E分别为AB、BC中点
∴DE‖AC
∴DE⊥BC
又∵CC1⊥DE
∴DE⊥平面BCC1B1
∴E到CC1上任意一点的连线都垂直于DE
∴设CC1上一点N，则：∠NEC就是二面角M-DE-A的平面角
∴∠NEC=30°
又∵CE=BC÷2=2
∴CN=2/3*根号3
过N作直线 l 平行于AC 交AA1于一点，则该点即为 M
∴MA=CN=2/3*根号3
——————————————————————
以A为原点，向量DC的方向为 x轴方向，向量AB的方向为 y轴方向，向量AA1的方向为 z轴方向 建立立体坐标系。
则：A(0,0,0) , D(0,2*根号2,0) , E(根号2,3*根号2,0) ,M(0,0,2/3*根号3)
（部分向量的表示，在此省略，若后面用到，就在这里补上吧）
设平面MDE的法向量为 向量n=(a,b,c)
则：向量n·向量DM=0 且 向量n·向量DE=0 （计算过程省略）
∴2a=-b=c/3*根号6
取 a=1 ，则平面MDE的法向量为 (1,-2,根号6)
∴点A到平面MDE的距离
d = |向量AM| * cos30°=|向量n·向量AM|÷|向量n|
= 2*根号2 ÷ 根号11 =2*根号22/11
∴距离为2*根号22/11