Question

已知数列{an}满足a1=2,且an+1an+an+1-2an=0(n∈N*),则a2=________;并归纳出数列{a

已知数列{an}满足a1＝2，且a(n＋1)an＋a(n＋1)－2an＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{an}的通项公式an＝________.

Answer 1

因为a(n+1)an + a(n+1) - 2an = 0;
所以a(n+1) = 2an/(an+1);
所以a2=2a1/(a1+1)=4/3;
由题可得:
a1 = 2^1/(2^1-1);
a2=2^2/(2^2-1);
由上可得:a(n+1)=2an/(an+1);
a3=2a2/(a2+1)=8/7=2^3/(2^3-1);
a4=2a3/(a3+1)=16/15=2^4/(2^4-1);
……
以此类推可得an=2^n/(2^n-1).

Answer 2

a2a1+a2-2a1=0
2a2+a2-2=0
3a2=2
a2=2/3

a(n+1)an+a(n+1)-2an=0
等式两边同除以ana(n+1)
1+1/an -2/a(n+1)=0
2/a(n+1)=1/an +1
2/a(n+1) -2=1/an -1
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2，为定值。
1/a1 -1=1/2 -1=-1/2，数列{an}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
1/an -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ-1)
n=1时，a1=2/(2-1)=2，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(2ⁿ-1)

Answer 3

两边都除以a(n+1)an,在通过变化得到1/an-1=2【1/a(n+1)-1】，那么1/an-1是-1/2为首项，1/2为公比的等比数列，算出an=1/【(-1/2) 乘1/2的n-1次方再加1】，a2=4/3