Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)=x²+x+1，当x∈[-1,2]时

已知二次函数f(x)满足f(x+1)=x²+x+1，当x∈[-1,2]时，不等式：f(x)>2x+m恒成立，则实数m的取值范围为—----------
已知函数f(x)=1g 1+x\1-x,求使f(x)>0的x的取值范围。
设f(x)=ax²+bx+c (a,b,c∈R,a≠0),f(x)在区间[-2,2]上的最大值，最小值分别为M,m.集合A={x|f(x)≤x}.
若A={2}，a∈[2ⁿ,+∞)(n∈N+），M-m的最小值记为g(n),估算使g(n)∈[10³,10⁴]的一切n的取值。

Answer 1

1、
f(x+1)=x^2+x+1=(x+1)^2-x=(x+1)^2-(x+1)+1
所以，f(x)=x^2-x+1
即x∈[-1,2]时，f(x)-2x＞m恒成立
===> x^2-3x+1＞m恒成立
令g(x)=x^2-3x+1=[x-(3/2)]^2-(5/4)，表示的是对称轴x=3/2，开口向上的抛物线
则当x∈[-1,2]时有最小值-5/4
所以，m＜-5/4

2、
f(x)=lg[(1+x)/(1-x)]＞0
则，(1+x)(1-x)＞1
===> (1+x)/(1-x)-1＞0
===> [(1+x)-(1-x)]/(1-x)＞0
===> 2x/(x-1)＜0
===> 0＜x＜1

3、
由f(x)≤x只有唯一实数x=2知，a＞0，且：f(2)=2
===> 4a+2b+c=2
且在(2,2)点处切线的斜率为k=1
所以，f'(2)=2ax+b=4a+b=1
则，(4a+b)+b+c=2
===> 1+b+c=2
===> b+c=1
——未完待续。。。

追问

未完待续？一口气说出来呗！说全就采纳为满意答案。还有什么叫切线的斜率?

Answer 2

解：
已知：f(x+1)=x²+x+1
设：x+1=t，有：x=t-1，代入已知，有：
f(t)=(t-1)²+(t-1)+1
f(t)=t²-t+1
即：f(x)=x²-x+1
已知：f(x)＞2x+m
即：x²-x+1＞2x+m
x²-3x＞m-1
x²-3x+(3/2)²＞m-1+(3/2)²
(x-3/2)²＞(4m+5)/4
当(4m+5)/4＜0时，上述等式恒成立
所以，有：(4m+5)/4＜0
解得：m＜-5/4。
即：所求取值范围是：m∈(-∞，-5/4)。