Question

α,β是方程x^2-2ax+a+6=0的实数根,求:(α-1)^2+(β-1)^2的最小值。

Answer 1

∵一元二次方程x2-2ax+a+6=0有两个实根；
∴△=4a²-4×（a+6）=4a²-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α，β是关于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的两个实根；
∴α+β=2a，α•β=a+6；
（α-1）²+（β-1）²=α²+1-2α+β²-2β+1=α²+β²-2（β+α）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-2×（a+6）-2×2a+2
=4a²-2a-10
=4（a-4分之3）²-4分之49 ；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-4分之3）²≥（4分之49）²；
∴4（a-4分之3）²-4分之49≥8；
则（α-1）²+（β-1）²的最小值为8．

追问

=4a²-2a-10
=4（a-4分之3）²-4分之49
这两步有问题

追答

不好意思,错了,应该是
4a^2-6a-10

=4(a^2-3a/2+9/16)-9/4-10
=4(a-3/4)^2-49/4

Answer 2

方程有实数根，∴△≥0　即4a²－4a－24≥0　
　　∴a≥3或a≤－2
　由根与系数的关系得　α＋β＝2a，　　αβ＝a＋6
　∴:(α-1)²+(β-1)²＝α²－2α＋1＋β²－2β＋1
　　　　　　　　＝（α²＋β²）－2（α＋β）＋2
　　　　　　　　＝（α＋β）²－2αβ－2（α＋β）＋2
　　　　　　　　＝（2a）²－2（a＋6）－2（2a）＋2
　　　　　　　　＝4a²－6a－10
设t＝4a²－6a－10
　这个二次函数的顶点为（3/4,-49/4) 它不在a的取值范围内，所以函数的最小值只能在端点处取得。　
　　当a＝3时　t＝8；当a＝－2时t＝18，　8＜18
　　∴t的最小值为8。　即为所求。