Question

若函数f(x)为偶函数，f（x—1）为奇函数，f(2)=—1，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+……+f(2014)=

Answer 1

令g(x)=f(x-1)
所以g(-x)=f(-x-1),因为f(x)是在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数
所以-g(x)=f(x+1)=-f(x-1)
所以f(x)=-f(x+2)
所以f(x-2)=-f(x)=f(x+2)
所以f(x)=f(x+4)
所以周期为4
因为g(x)是R上的奇函数 所以g(0)=0，即f（-1）=0，即f(3)=0,f(4)=-f(2)=1,f(1)=-f(3)=0
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
因为T=4
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+……+f(2014)
=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+……+f(2013)+f(2014)
=f(2013)+f(2014)
=f(1)+f(2)
=-1

Answer 2

考虑到用抽象函数的方法可能是小题大做了，特此用下面的方法：
构建数列
an=f(n) (n∈Z,不是正整数，也就是给数列搭建一个地下室；）
令F(x)=f(x-1)
则F(x)是奇函数，
F(-x)= - F(x),
{F(-x)=f(-x-1)
{F(x)=f(x-1)
f(-x-1)= -f(x-1)
∵f(x)是偶函数，
∴f(-x-1)=f(x+1)
f(x+1)= - f(x-1)
把x换成 x+1得：
f(x+2)= -f(x)
a(n+2)= - an.............................①
a0=-a2=1
F(x)是奇函数，F(0)=0==>f(-1)=0,即：
a(-1)=0
在①中令n=(-1)
a1=-a(-1)=0
a2=-1 (已知条件)
在①中把n换成：n+2得：
a(n+4)= - a(n+2)=-[-an]=an
数列的周期为4，
原数列：
-1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0,.........
而正整数数列:{an}是：
0, -1, 0, 1, 0,-1, 0, 1, 0,.
2014=4*503+2
a1+a2+........+a2014=a1+a2+0*503=0+(-1)= -1

Answer 3

答案-1 不懂追问 希望采纳