Question

数学在线解题

已知正方形ABCD,E为AD中点。F为ED中点，求证 角ABE=1/2角CBF

Answer 1

证明：取DC中点G，连GB，GF，
设正方形ABCD边长为a
因为AB=BC,AE=CG=a/2
∴RT△ABE≅RT△CBG
∴∠ABE=∠CBG=∠a，
因为FD/GC=(a/4)/(a/2)=1/2
DG/BC=(a/2)/a=1/2
∴FD/GC=DG/BC
∴RT△FDG∽RT△CGB，
∴∠DGF=∠CBG
DG/BC=FG/BG DG=CG
∴CG/BC=FG/BG ∴CG/FG=BC/BG
因为∠CBG+∠CGB=90°
∠DGF=∠CBG(已证)
∴∠DGF+∠CGB=90°
∴∠BGF=180-90=90°
∴RT△CBG∼RT△GBF
∴∠CBG=∠GBF=∠b/2
∴∠a=∠b/2

Answer 2

过F点做AD的垂线。，垂足为G ~
看到了吗FG=2AE~
即夹角也是二倍~

Answer 3

设边长为4a,角ABE=b，角CBF=c，则由图形可知arctan（b）=1/2;arctan（c）=4/3;

• 有公式sin（2b）=2tan（b）/(1+tan(b)*tan(b))=4/5

• 同理sin（2c）=2tan（c）/(1+tan(c)*tan(c))=24/25

  所以cos（2b）=3/5

  sin(2c)=2sin(c)cos(c)=2sin(2b)cos(2b)

• 所以c=2b

  角ABE=1/2角CBF