Question

一道高中数学题，求大神速解决，详细一点，谢谢啦

已知函数f(x)=1/3x^3+x^2+ax
（1）讨论f(x)的单调性
（2）设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上，求a的值

Answer 1

1) 先求导数f(x)'
f(x)'=x^2+2x+a
f(x)'为一个二次函数，且函数开口向上，顶点为-1，当f(x)'=0时，x^2+2x+a=0
x^2+2x+1=1-a (1-a)>0
x=√(1-a)-1 或x=-√(1-a)-1
所以有二次函数图像可知，当-√(1-a)-1<x<√(1-a)-1时，f(x)‘<0, f(x)单调递减，
当x<=-√(1-a)-1 或x>=√(1-a)-1 时，f(x)’>=0,f(x)单调递增
2)由(1)讨论可知，函数f(x)的两个极值点分别为x1=-√(1-a)-1 x2=√(1-a)-1 (另x1>x2)
由条件可知，f(x)=0时，有，1/3x^3+x^2+ax=0
若(x1,f(x1)点在x轴上，则把x1=-√(1-a)-1代入 f(x)=0方程中
1/3(-√(1-a)-1)^3+(-√(1-a)-1)^2+a(-√(1-a)-1)=0
1/3(-√(1-a)-1)^2+(-√(1-a)-1)+a=0 -√(1-a)-1<0
-√(1-a)-1=0 (a无解）
即(x1,f(x1))不在x轴上
若(x2,f(x2))在x轴上，则把x2=√(1-a)-1代入f(x)=0方程中
1/3(√(1-a)-1)^3+(√(1-a)-1)^2+a(√(1-a)-1)=0 （1）
若√(1-a)-1=0 则a=0
若√(1-a)-1≠0
则（1）可约分
1/3(√(1-a)-1)^2+(√(1-a)-1)+a=0
-√(1-a)=0
a=1
所以由以上讨论得，a=0,或a=1

求采纳呀！！！！！！！！！！！！！

追问

x^2+2x+1=1-a ， (1-a)>0，哪来的

Answer 2

（1）对它求个导，x^2+2x+a，然后就是讨论这个函数是不是恒正了。a＞1导数与X轴无交点，恒正，a＜1再表示出两个根，两边增，中间减。
（2）也就是说交点是（0，0）。求出两根，代入原方程，就能得到这两个极值点了。用两点式表示直线方程，代入固定点（0，0），原式变成只含a的一元一次方程，解出来即可。时间有限，你自己动手练习一下吧。