Question

互为反函数的两个函数有什么性质？

同上

Answer 1

例 1：函数 y= x+5姨

(x≥ -5)的反函数是（

）（ A） y=x2-5（ x∈ R）（ B） y=x2-5 (x≥ 0)（ C） y=x2+5(x≥ 0)（ D） y=x 2 -5 (x≥ -5)分析：本题解决的关键在于准确求出反函数的定义域，由函数 y= x+5姨 (x≥ -5)及其定义域求得其值域为 [0,+∞)，即为反函数的定义域。故选（B）。

2、如果函数 f（ x）与 g（ x）互为反函数，则 f（ x）与 g（ x）图象关于直线 y=x对称。

例 2：设 f(x)= 1-2x 1+x函数，若函数 g (x)的图象与 y = f-1(x+1)的图象关于直线 y=x对称，那么 g(2)的值为（

）（A）- 2 5（B）- 5 4（C）-1

（D）-2分析：本题的常规解法一：由 f(x)= 1-2x 1+x求得反函数 f-1(x)= 1-x 2+x，进一步得到 f-1(x+1)= -x 3+x，再由函数 y=g(x)与 f-1(x+1)互为反函数，令 -x 3+x =2，解得 x=-2，即 g(2)=-2，故选（D）。

解法二：由于 y= f-1(x)与 y= f(x)互为反函数，又 y = f-1(x+1)，所以 x+1= f（ y）， x= f（ y）-1，所以 y= f-1(x+1)的反函数是 y= f（ x）-1，即 g（ x）= f（ x）-1，从而 g（2） = f（2）-1 = -2，故选（D）。

本题经常出现如下错解：由于函数 y=g(x)的图象与 y= f-1(x+1)的图象关于直线 y=x对称，所以 y=g (x)与 y= f-1(x+1)互为反函数，所以 g(x)= f (x+1)，所以 g(2)= f(2+1)= f(3)=- 5 4，故选（B）。

事实上：函数 y= f(x+1)与函数 y= f -1 (x+1)不是互为反函数。从它们之间的函数图象变换就能说明这一点；

由 y= f（ x）的函数图象关于直线 y=x对称→得到 y= f -1（ x）的函数图象向左平移 1个单位→得到 y= f-1(x+1)的图象；由 y= f（ x）的函数图象向左平移 1个单位→得到 y= f（ x+1）的图象，因此 y= f(x+1)的图象与 y= f-1（ x+1）的图象关于直线 y=x+1对称。

例 3：如果函数 y= f（ x）存在反函数 y= f -1（ x），则下列命题中不正确的一个是（）（A） y= f（ x）与 x= f（ y）的图象关于直线 y=x对称（B）如果 y= f（ x）是奇函数，那么 y= f-1（ x）也是奇函数（C）如果 y= f（ x）在（-∞，+∞）上是增函数，那么 y= f -1 (x)在（-∞，+∞）上也是增函数（D）方程 f（ x）=m（m为常数）至多有一个实根

分析：由于 y= f（ x）有反函数，所以 y= f-1（ x）与 x= f（ y）的图象相同，（A）中命题是对的；由函数 y= f（ x）与 y= f-1（ x）的图象关于直线 y=x对称，所以（B）中命题也是对的；而（C）中 y= f -1（ x）的定义域不一定是（-∞，+∞），比如：y=2x的定义域为（-∞，+∞），其反函数 y=log 2 x的定义域为（0，+∞）所以（C）中命题是不正确的；由 y= f（ x）存在反函数，所以由函数 y= f（ x）确定的映射是一一映射 ,当 m属于 y= f（ x）的值域时，方程 f（ x）=m有唯一解 ,当 m不属于 y= f（ x）的值域时 ,方程 f（ x）= m无解。从而（D）中命题是对的 ,故选（C）。

Answer 2

他们的图像关于直线X=1对称。

Answer 3

【反函数的性质】
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；
（2）函数存在反函数的充要条件是，函数在它的定义域上是单调的；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）偶函数一定不存在反函数，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。
（8）反函数是相互的
（9）定义域、值域相反对应法则互逆
（10）不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方
例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x

例题：求函数3x-2的反函数
解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)