Question

在 三角形ABC中，已知cos2C=-¼ （1）求sinC的值 （2）当a=2 2sinA=sinC时，求b、c长【正弦、余弦】

在 三角形ABC中，已知cos2C=-¼
（1）求sinC的值
（2）当a=2 2sinA=sinC时，求b、c长
【请用正弦、余弦定理来求】

Answer 1

（1）
∵cos2C=1-2sin²C=-¼

∴sin²C=5/8
∵C是三角形内角
∴sinC=√10/4
（2）
∵a=2， 2sinA=sinC

根据正弦定理
a/sinA=c/sinC
∴c=asinC/sinA=4sinA/sinA=4
∵a<c
∴A为锐角，
sinA=1/2sinC=√10/8
cosA=√(1-sin²A)=3√6/8
根据余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴4=b²+16-2b*4*3√6/8
∴b²-3√6b+12=0
b=(3√6±√6)/2=2√6或√6

追问

不好意思，因为是第一次接触高二的课程，大约对公式有一定的认识，可以麻烦您把以下过程再叙述得详尽一些可以么。麻烦您了。
【∵C是三角形内角【∴c=asinC/sinA=4sinA/sinA=4∵a<c∴A为锐角，sinA=1/2sinC=√10/8
cosA=√(1-sin²A)=3√6/8【∴4=b²+16-2b*4*3√6/8 ∴b²-3√6b+12=0 b=(3√6±√6)/2=2√6或√6】

追答

①∵C是三角形内角 ∴00

②c=asinC/sinA=4sinA/sinA=4 【这个是由前面的正弦定理做的简单的推导】

③∵a<c∴A为锐角，【大边对大角，小边对小角，小角是锐角】

④sinA=1/2sinC=√10/8，【根据已知呀】

⑤cosA=√(1-sin²A)=3√6/8 【三角函数同角关系】

⑥4=b²+16-2b*4*3√6/8【 余弦定理】

⑦∴b²-3√6b+12=0 【这是一个二次方程呀，你必须会的，已经准高二了】

Answer 2

解
(1)cos2C=1-2sin²C=-1/4
∴sin²C=5/8
∵C∈(0,π)
∴sinC>0
∴sinC=√10/4

由正弦得a/sinA=c/sinC
∵2sinA=sinC
∴sinC/sinA=2=c/a=c/2
∴c=4

又由余弦得
c²=b²+a²-2abcosC
即16=b²+4+b
∴b²+b-12=0
即(b+4)(b-3)=0
∴b=3

追问

因为是高二预科班第一天上课 所以有些地方不是很懂
∵C∈(0,π)
∴sinC>0
∴sinC=√10/4
能不能把这一步换成别的呢？

追答

就是这样啊，我解释一下你就懂了

因为三角形的内角和是π
所以一个角C总不可能大于π吧

而sinC在(0,π)是大于0的
利用sin²C+cos²C=1
可以求出sinC

不过我下面求b的算错了
应该像楼上那样解，你看他的吧