Question

在数列｛an}中，a1=1,a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n

(1)设bn=an/n,求｛bn}通式（2）求｛an｝通式及其前n项和Sn 只要最终答案就行了，我确认一下...

Answer 1

解：
1.
a(n+1)=(1+ 1/n)an+(n+1)/2ⁿ
a(n+1)=[(n+1)/n]an+(n+1)/2ⁿ
等式两边同除以n+1
a(n+1)/(n+1)=an/n +1/2ⁿ
a(n+1)/(n+1) +1/2ⁿ=an/n +1/2^(n-1)
a1/1+1/2^0=1+1=2，数列{an/n +1/2^(n-1)}是各项均为2的常数数列。
an/n +1/2^(n-1)=2
an/n=2- 1/2^(n-1)
bn=an/n=2- 1/2^(n-1)
2.
an/n=2- 1/2^(n-1)
an=2n -n/2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an=2(1+2+...+n)-[1/1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)]
令Cn=1+2/2+3/2²+...+n/2^(n-1)
则Cn/2=1/2+2/2²+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2ⁿ
Cn-Cn/2=Cn/2=1+1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)-n/2ⁿ
=1×(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)-n/2ⁿ
=2-(n+2)/2ⁿ
Cn=4-(n+2)/2^(n-1)
Sn=Cn+2(1+2+...+n)
=4-(n+2)/2^(n-1)+2n(n+1)/2
=4-(n+2)/2^(n-1) +n²+n