Question

异面直线a,b所成的角为60°，直线l与a,b所成的角都等于α，求α的取值范围

为什么α最大取90°？直线l与a,b所成的角能同时等于90°吗，a,b夹角为60°呀？

Answer 1

假设在平面β中有两条相互垂直且交点为d的直线a和c，在c上找一点(d点除外)e，过e作直线b垂直平面β，那么a与b是异面直线，在a和b上分别找一点f和g，且df=eg，连接fg,dg,ef，那么∠fdg∠fge分别是直线fg与直线a和b所成的角
∵△dfg△gef△fdg都是直角三角形
∴Cos∠fge=ge ∕ fg=df ∕ fg=Cos∠dfg
∴∠dfg=∠fge
当df=eg=0时，即f与d，g与e重合时，直线de与a,b所成的角都是90°
当df=eg≠0时，△gef△fdg都是直角三角形，所以∠fge∠dfg都是小于90的锐角
∴α的取值范围在0＜α≤90
如有不懂，你可以画个图，一定会帮你，望采纳

追问

∠fdg是直线fg与直线a所成的角？△dfg、△fdg都是直角三角形？能不能画个图？有点乱，谢谢

追答

非常抱歉，我搞错了，我上次证明的是a,b成90°角的情况，现在证明a,b成60°时的情况

你可以按以下步骤作图：先画平面β，然后在β中任意画一条辅助直线c，在c上找任意一点A，过A画异面直线a，并使a与c成60°角，在直线a上任意找一点B(不含A)，过B作β的垂线，垂足为C，在直线c找一点D，使AB=AD，连接BD，CD，过A作DC的垂线，垂足为E，连接AE，延长DE至F，且DE=FE，连接AF，过F作直线b，且b∥c，过D作AF的平行线，与b交于点G，连接BG,FB
由以上作图过程可以知道a,b是成60°角的异面直线
∵AE垂足平分DF
∴AF=AD=AB=GD=GF
∵平面β⊥平面FBD，AE⊥DF，AE属于β
∴AE⊥平面FBD
∴AE⊥BE
∵四边形AFGD是菱形
∴ GE=AE
∴△AGB是等腰三角形，即GB=AB
∴△FBG全等于△AFB ，而且他们都是等腰三角形
∴∠FBA=∠GFB=∠BFA=∠GBC＜90°
∴FB与a,b所成角相等，即FB就是题中的直线I
当平面ABD⊥平面β时，即c为a在β上的投影时，作直线I⊥c，那么I⊥b，I⊥a，I与a,b都成90°角
∴题中的α满足0＜α≤90
不好意思前几天出差了，今天看到你的追问，想了一下午才有了答案，作图过程可能有点繁琐，但这种题目作图是关键，只要你作出来正确的图，你就会有解题思路，如有不懂可以问，望采纳