Question

一道几何题，用面积,梅涅劳斯，添平行线的的方法做，如果可以请每个1种方法，高分悬赏

已知BD=DC，而其余点为任意点，求证：AB/AM+AC/AN=2AD/AP

Answer 1

因为D是中点，所以S_ADB=S_ADC

又因为
AM/AB *AP/AD =S_APM /S_ADB =2 S_APM /S_ABC
AN/AC *AP/AD= S_APN/S_ADC =2 S_APN/S_ABC

==> AM/AB+AN/AC=2AD/AP *(S_APM /S_ABC +S_APN/S_ABC)

=2AD/AP *S_AMN /S_ABC

=2AD/AP * (AM/AB *AN/AC)

==> AM/AB+AN/AC=2AD/AP * (AM/AB *AN/AC)

==>AB/AM+AC/AN=2AD/AP

追问

还能够在想1种方法做嘛？

追答

如果MN//BC，根据平行线分线段成比例，结论显然

如果MN和BC不平行，不妨设MN交BC的延长线于Q点

在三角形ADB中(MPQ三点共线)用一次梅捏老四定理：AM/MB ×BQ/QD *DP/PA=1

在三角形ADC中（PNQ三点共线）用一次没捏老湿定理：AN/NC *CQ/QD *DP/PA=1

得到BM/AM +CN/AN =BQ/QD *DP/PA +CQ/QD *DP/PA

  = DP/PA  ×（BQ+CQ）/DQ = 2 DP/PA

两边同时加2：BM/AM +1+CN/AN+1 = 2 （DP/PA+1）

===>AB/AM+AC/AN=2AD/AP

追问

两边同时+2是什么意思？

追答

得到BM/AM +CN/AN =BQ/QD *DP/PA +CQ/QD *DP/PA
= DP/PA ×（BQ+CQ）/DQ = 2 DP/PA
也就是BM/AM +CN/AN = = 2 DP/PA
两边同时加2，就是你要证明的结论就出来了。

Answer 2

可以分别过B C做MN的平行线（如图），那么AB/AM=AH/AP,AC/AN=AI/AP,于是只要证AH+AI=2AD.而BH∥IC,D又是BC中点，所以BHCI是个平行四边形，知道D也为HI中点，即证。