Question

已知x1,x2是一元二次方程4kx^2-4kx+k+1=0的两个实数根

求使x1/x2+x2/x1 -2的值为整数的实数k的整数值

Answer 1

方程有两个解
则16k^2-16k(k+1)>=0
k^2-k^2-k>=0
k<=0

x1+x2=1,x1*x2=(k+1)/4k

x1/x2+x2/x1-2
=(x1^2+x2^2)/x1*x2-2
=[(x1+x2)^2-2x1x2]/x1*x2-2
=(x1+x2)^2/x1*x2-2-2是整数
则(x1+x2)^2/x1*x2是整数

(x1+x2)^2/x1*x2
=4k/(k+1)
=(4k+4-4)/(k+1)
=1-4/(k+1)是整数
则k+1是4的约数
所以k+1=1,-1,2,-2,4,-4
k=0,-2,1,-3,3,-5
k<=0
若k=0,则方程是1=0，不成立
所以k=-2,-3,-5

Answer 2

解：（1）根据题意，得
△=（-4k）
2
-4×4k（k+1）=-16k≥0．
解得k≤0．
又∵k≠0，∴k＜0．
由（2x
1
-x
2
）（x
l
-2x
2
）=−
3
2
得
2（x
1
2
+x
2
2
）-5x
1
x
2
=-1.5．
2（x
1
+x
2
）
2
-9x
1
x
2
=-1.5．
2-9×
k+1
4k
=-1.5
18k+18=28k，
解得k=1.8．
经检验k=1.8是方程2-9×
k+1
4k
=-1.5的解．
∵k＜0，∴不存在实数k．
（2）原式=
x
21
+x
22
x1x2
-2=
(x1+x2)2−2x1x2
x1x2
-2=
(x1+x2)2
x1x2
-4=
4
k+1
-4，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5．

Answer 3

方程有两个解
则16k^2-16k(k+1)>=0
k^2-k^2-k>=0
k<=0
x1+x2=1,x1*x2=(k+1)/4k
x1/x2+x2/x1-2
=(x1^2+x2^2)/x1*x2-2
=[(x1+x2)^2-2x1x2]/x1*x2-2
=(x1+x2)^2/x1*x2-2-2是整数
则(x1+x2)^2/x1*x2是整数
(x1+x2)^2/x1*x2
=4k/(k+1)
=(4k+4-4)/(k+1)
=1-4/(k+1)是整数
则k+1是4的约数
所以k+1=1,-1,2,-2,4,-4
k=0,-2,1,-3,3,-5
k<=0
若k=0,则方程是1=0，不成立
所以k=-2,-3,-5

Answer 4

x1/x2+x2/x1-2
=(x1^2+x2^2)/x1x2-2
=(x1+x2)^2/x1x2-4
=4k/(k+1)-4
=-4/(k+1)为整数
则：k=3,1,0,-2,-3,-5

Answer 5

X1/X2+X2/X1-2=(X1-X2)^2/X1*X2=[(X1+X2)^2-4X1*X2]/X1*X2=[1-(K+1)/K]/[(K+1)/4K]=-(K+1)/K^2
所以K=1