Question

求y=3+2sinx/5-cosx的值域

Answer 1

所以
y(5-cosx)=3+2sinx
2sinx+ycosx=5y-3
利用辅助角公式
令tan a=y/2
所以原方程可化为
根号(4+y^2)sin(x+a)=5y-3
即
sin(x+a)=(5y-3)/根号(4+y^2)
为使此方程有解，必然右端项绝对值小于等于1
即
|(5y-3)/根号(4+y^2)|<=1
即
(5y-3)^2/(4+y^2)<=1
显然4+y^2>0
所以
(5y-3)^2<=4+y^2
25y^2-30y+9<=4+y^2
24y^2-30y+5<=0
用求根公式
解得
(15-根号105)/24<=y<=(15+根号105)/24

Answer 2

∵3＋2sinx
＝3［sin（x/2）］^2＋4sin（x/2）cos（x/2）＋3［cos（x/2）］^2

＝｛3［tan（x/2）］^2＋4tan（x/2）＋3｝［cos（x/2）］^2，

　5－cosx
＝5［sin（x/2）］^2－［cos（x/2）］^2＋［sin（x/2）］^2＋5［cos（x/2）］^2
＝6［sin（x/2）］^2＋4［cos（x/2）］^2
＝｛6［tan（x/2）］^2＋4｝［cos（x/2）］^2。

∴y＝｛3［tan（x/2）］^2＋4tan（x/2）＋3｝/｛6［tan（x/2）］^2＋4｝，
∴2y
＝｛3［tan（x/2）］^2＋4tan（x/2）＋3｝/｛3［tan（x/2）］^2＋2｝
＝1＋［4tan（x/2）＋1］/｛3［tan（x/2）］^2＋2｝，
∴2y－1＝［4tan（x/2）＋1］/｛3［tan（x/2）］^2＋2｝。

令tan（x/2）＝k，则：2y－1＝（4k＋1）/（3k^2＋2），
∴（2y－1）（3k^2＋2）＝4k＋1，
∴3（2y－1）k^2－4k＋2（2y－1）－1＝0。
显然，k是实数，∴需要：（－4）^2－4×3（2y－1）［2（2y－1）－1］≧0，
∴3（2y－1）［2（2y－1）－1］≦4，∴6（2y－1）^2－3（2y－1）－4≦0，
∴（2y－1）^2－（1/2）（2y－1）≦2/3，
∴（2y－1）^2－（1/2）（2y－1）＋1/16≦2/3＋1/16＝35/48，
∴［（2y－1）－1/4］^2≦35/48，
∴－√（35/48）≦2y－5/4≦√（35/48），
∴5/4－（1/12）√105≦2y≦5/4＋（1/12）√105，
∴5/8－（1/24）√105≦y≦5/8＋（1/24）√105，
∴（15－√105）/24≦≦（15＋√105）/24。
∴函数的值域是［（15－√105）/24，（15＋√105）/24］。