Question

怎样用中心极限定理证明大数定理？

怎样用中心极限定理证明大数定理？概率论碰到的一个难题，求高人速度解决，谢谢！

Answer 1

第5章 大数定律与中心极限定理一、基本要求1、掌握切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论．大数定律多用于进行理论的论证，一般不便于处理具体问题．会证明切比雪夫大数定律和伯努利大数定律．2、掌握列维-林德伯格定理及棣莫弗-拉普拉斯定理的结论和应用条件，并会应用这两个定理进行近似计算．一 依概率收敛 定义 称随机变量列 依概率收敛于随机变量Z，如果对任意给定的 ，有． 随机变量列 依概率收敛于A，有时记作， 特别，Z可以是常数A或 ．二 大数定律 1、切比雪夫（切贝绍夫）大数定律 设 为两两独立(或两两不相关)的随机变量列， 存在，且存在常数C，使 ，则对任何给定的 ，有 切比雪夫大数定律是切比雪夫不等式的推论（见(4.7)式）．2、伯努利大数定律 设 是“事件A在试验中出现”的概率； 是n次独立重复试验（伯努利试验）中事件A出现的频率，则 依概率收敛于 ：．直观上表示当n充分大时 ．3、辛钦大数定律 设 独立同分布随机变量，只要数学期望 存在，则．即当n充分大时，有 ．三 中心极限定理 中心极限定理是关于“随机变量之和的极限分布是正态分布”的一系列定理的总称．1、棣莫弗-拉普拉斯定理 设随机变量X服从参数为 的二项分布，则当n充分大时，X近似地服从正态分布 或近似地．(1) 局部定理 对于任意p(0<p<1)和 ，当n充分大时，有(2) 积分定理 对于任意p(0<p<1)和 ，当n充分大时，，其中 ．2、列维-林德伯格定理 设 是独立同分布随机变量，其数学期望和方差存在： ， ，则当n充分大时近似地 ，即对于任意实数 ，当n充分大时，有，其中 ；，其中 ．三、典型例题及其分析例5.2.1 在每次试验中，事件 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中事件 发生的次数在400次至600次之间的概率.【思路】设1000次试验中事件 发生的次数为 ，则 服从参数为 的二项分布，因而 再用切比雪夫不等式估计概率 【解】 在切比雪夫不等式 中，取 则事件 发生的次数在400次至600次之间的概率为 【解毕】例5.2.2 如果随机变量 的概率密度为 ，且 存在，证明：对任意 有 【思路】 利用切比雪夫不等式的证明方法.【证明】 由于函数 在 内单调递增，故事件 ，因此 【证毕】【技巧】 证明中的关键一步是对被积函数乘以大于1的因子 ，使等式变为不等式.次题实际上是考查切比雪夫不等式的证明.例5.2.3 设随机变量 相互独立，且服从相同的分布： 又 存在 .试证明：对任意 有【思路】 类似于切比雪夫大数定律的证明.【证明】 由于 的期望为令 的方差为 ，则由于 仍相互独立的，故 的期望和方差分别为对 应用切比雪夫不等式知当 时，由极限的夹逼定理知 【证毕】【寓意】 本题是考查切比雪夫大数定律的证明技巧.结论的另一种写法为： ，即样本二阶矩依概率收敛于总体二阶矩.这是统计中的一重要结论.例5.3.1 某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗户占20％，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔数为随机变量 （1） 写出 的概率分布；（2） 利用德莫佛－拉普拉斯定理，求被盗德索赔户数不少于14户且不多于30户的概率近似值.(1988年考研题)【解】 （1）据题意可知，100家索赔户中被盗的索赔户数 ，即 的分布律为 （2）由 利用德莫佛－拉普拉斯定理知 【解毕】【技巧】 德莫佛－拉普拉斯定理在实际中由广泛的应用,运用此定理计算概率近似值时，其关键是：“标准化”和“正态近似”，当 越大时，所得得近似值越精确.例5.3.2 计算器在进行加法时，将每一加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的，且在 上服从均匀分布.（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2） 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？【思路】 设每个加数的舍入误差为 ，由题设知 独立同分布，且 因此，可利用独立同分布的中心极限定理，即林德伯格－列维中心极限定理，来进行近似计算.【解】 令 同上所设，由于 ，从而 （1） 记 为将1500个数相加的误差总和，则有 ，从而由林德伯格－列维中心极限定理知 近似地服从 ，从而即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802.（2）记 表示将n个数相加的误差总和，要使 由林德伯格－列维定理可知， 近似服从 .故 即 查表得 故 故最多有443个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90. 【解毕】【寓意】 本题是独立同分布中心极限定理——林德伯格－列维定理的典型应用题，解题中关键还是要将所求问题“标准化”为定理所要求的形式.综例5.4.1 现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率.【解】 设随机变量 表示所取6000粒种子中良种的粒数，由题意可知， ,于是 （1） 要估计的概率为 相当于在切比雪夫不等式中取 于是由切比雪夫不等式可得 （2） 由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理，二项分布 可用正态分布 近似。于是所求概率为【解毕】【寓意】 从本例看出：由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685，而由中心极限定理可得到要求的概率近似等于0.9625.从而可知，由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，但由于它的要求较低，只需知道 的期望与方差，因而在理论上由许多应用.综例5.4.2 设 在区间 上连续，并记 设随机变量 服从 上的均匀分布， 独立且与 同分布，设且 （1） 求 和 ，并证明： （2） 对任意 ，利用中心极限定理估计概率 .【解】 （1）由于 ，且 与 独立同分布，故 又因为 相互独立，故 也相互独立，从而于是，对任意 ，由切比雪夫不等式得所以 （2） 由林德伯格－列维中心极限定理知因此，对任意 ，有 【解毕】【寓意】 本题是大数定律与中心极限定理的一个综合题，其中涉及的期望与方差的计算以及极限定理的运用都是经典的方法，读者应当熟练掌握和运用.本题实际上是实际问题中，利用蒙特卡罗方法计算积分的理论依据之一.综例5.4.3 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10％，问至少应抽所少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？【解】 设 为至少应抽的产品数， 为其中的次品数，对 故由德莫佛－拉普拉斯定理有 当 充分大时, 由题意知 即 查表得 即 【解毕】【技巧】 本题是一典型的用德莫佛－拉普拉斯定理近似计算的题.从解题过程中可以发现，二项分布 其实可看成是一个独立同分布的0-1分布的和，即 其中 综例5.4.4 设某种器件使用寿命（单位：小时）服从指数分布，平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更另一新器件，如此继续，已知每一器件进价为a元，试求在年计中应为此器件作多少元预算，才可以有95％的把握一年够用（定一年有2000个工作小时）.【解】设第 个器件的使用寿命为 由于 服从参数为 的指数分布，且 所以 ，从而 假定一年至少准备 件才能有95％的把握够用，若记 相互独立，则问题应为求 ， 由独立同分布的中心极限定理知 故 查表得 即 因此每年应为此器件至少作出118a（元）的预算，才能有95％的把握保证一年够用.【解毕】综例5.4.5 设某农贸市场某商品每日价格的变化是均值为0，方差为 的随机变量，即有关系式其中， 表示第n天该商品的价格， 为均值为0，方差为 的独立同分布随机变量（ 表示第n天该商品价格的增加数），如果今天该商品的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率.【思路】 设 表示今天该商品的价格， 为18天后该商品的价格，则因此，问题为求 而这个概率可利用林德伯格－列维的独立同分布中心极限定理来近似确定.【解】 由于 且 是独立同分布的， 从而，由林德伯格－列维定理知 【解毕】【技巧】 本题的关键是要将 表示为 从而将问题转化为求独立同分布随机变量和 落在某个区间的概率，而这个问题的解决只需用林德伯格－列维定理就可以了.综例5.4.6 假设 是来自总体 的简单随机样本，已知 试证：当n充分大时，随机变量 近似服从正态分布，并指出其分布参数.（1996年考研题）【证明】 若设 ，则由于 是来自总体 的简单随机样本.故 独立同分布，且与 有相同分布，从而 也是独立同分布，且于是，根据独立同分布的林德伯格－列维中心极限定理，得即 亦即 近似服从标准正态分布 ，故当n充分大时，近似地有 【证毕】【寓意】 本题其实是数理统计中，大样本场合下统计量 得渐进分布得计算问题，这类问题在求统计量的抽样分布时是经常出现的，关键是利用独立同分布的中心极限定理来求它们的近似分布.