Question

设f(x)=ax^2+bx+c,且6a+2b+c=0,f(1)f(3)>0

求证方程f(x)=0必有两个不等实根为x1,x2,且3＜x1+x2＜5

Answer 1

证明：由6a+2b+c=0，得 c=-6a-2b，b=-3a-c/2
则 f(1)*f(3)>0 即 (a+b+c)(9a+3b+c)>0
则 (5a+b)(3a+b)<0 即 a≠0时，3<-b/a<5
对于方程f(x)=0，得 a≠0时，Δ=b²-4ac=(-3a-c/2)²-4ac=8a²+(a-c/2)²>0
故 方程必有两个不等实根x1,x2，且 3<x1+x2=-b/a<5
(主要问题是没法说明a≠0)

Answer 2

f(1)f(3)=(a+b+c)(9a+3b+c)>0
因为6a+2b+c=0，所以c= -6a-2b
代入到：
f(1)f(3)=(-5a-b)(3a+b)>0
两边同时除以a^2, (-5-b/a)(3+b/a)>0
解不等式得，3<-b/a<5
x1+x2=-b/a
所以x1+x2的取值范围为 （3,5）

Answer 3

首先证明：3<x1+x2<5
由f(x1)f(3)>0-->(a+b+c)(9a+3b+c)>0-->(a+b-6a-2b)(9a+3b-6a-2b)>0-->(5a+b)(3a+b)<0-->3<-b/a<5-->则3<x1+x2<5(这过程需说明a不等于零，如a=0则可推出b=0和c=0与题不符，所以a不等于零)
同时，需说明b不等于0，c也不等于零，由上述证明结论可以得出。
再证明方程f(x)=0有两个不等实根，
由6a+2b+c=0-->4b^2=(6a+c)^2-->4(b^2-4ac)=(6a-c/3)^2+8c^2/9-->b^2-4ac>0，证毕

Answer 4

消掉C求解，，然后 变量消掉C

Answer 5

消掉c求解，分离变量消掉c