Question

高中数学函数单调性题

设奇函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1.当x∈[-1,1]时，汉书f(x)≤t^2-2at+1对一切a∈[-1,1]恒成立，则实数t的取值范围为？

Answer 1

设奇函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1.当x∈[-1,1]时，汉书f(x)≤t^2-2at+1对一切a∈[-1,1]恒成立，则实数t的取值范围为？

解析：∵奇函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1
∴f(0)=0,f(-x)=-f(x),f(1)=1
∵当x∈[-1,1]时，函数f(x)≤t^2-2at+1对一切a∈[-1,1]恒成立

令g(a)=-2ta+t^2+1
当t=0时，g(a)=1，∴满足函数f(x)≤g(a)对一切a∈[-1,1]恒成立

当t<0时，g(a)=-2ta+t^2+1==>-2t>0,g(a)单调增；g(0)=t^2+1>=1,g(-1)=t^2+2t+1>=0
G(1)=t^2-2t+1=(t-1)^2>1
∴满足函数f(x)≤g(a)对一切a∈[-1,1]恒成立

当t>0时，g(a)=-2ta+t^2+1==>-2t<0,g(a)单调减；g(0)=t^2+1>=1,g(-1)=t^2+2t+1>=0
G(1)=t^2-2t+1=(t-1)^2
令(t-1)^2>=1==>t-1<=-1==>t<0或t-1>=1==>t>=2
∴当t>=2时，满足函数f(x)≤g(a)对一切a∈[-1,1]恒成立

∴实数t的取值范围为t<=0或t>=2

Answer 2

f(x)<=t^2-2at+1
等价于
f(x)<=fmax(x)<=t^2-2at+1
奇函数f(x)在[-1，1]上是增函数，且f(-1)=-1
fmax(x)=f(1)=-f(-1)=1
1<=t^2-2at+1
t^2-2at>=0
a=0,t^2>=0,t属于R
a>0,t<=0 or t>=2a
a<0,t<=20 0r t>=0

Answer 3

因为t²-2at+1≥f(x)对x∈【-1,1】恒成立，f(x)为奇函数且为增，所以f(x)最大为1
即t²-2at+1≥1对a恒成立，变量为a，解出t≤-2或t=0或t≥2
有问题尽管问，赶着15分钟的

Answer 4

由奇函数性质知：f(-1)=1. 又由于函数在(-1.1)上是增函数，所以f(1)=1为最大值。由于函数f(x)＜＝t^2-2at+1恒成立。对于a有t^2-2at+1＞=1.对于a有a<=t/2.当t<0时，得t>=2. 当t<0时，得t<=2.t=0也成立。