Question

求大神帮忙做下这个线性代数的证明题。

Prove that P(t) (the vector space of all polynomials) with ordinary addition and scalar multiplication is an infinite dimensional vector space.
证明 p(t) (所有多项式的向量空间）与 普通的和 和 标量的积是 无限维向量空间。 翻译应该是这样的。。 求解答啊~~~~

Answer 1

这个用定义说明即可

首先, P(t)中两个多项式的和与数乘仍是多项式, 即P(t)对加法与数乘封闭

然后运算满足八条运算律:

1. 加法交换律

2. 加法结合律

3. 有零元: 多项式 0 

4. 有负元: f(t) + (-f(t)) = 0

5. k(f+g) = kf+gf

6. (km)f = k(mf)

7. (k+m)f = kf+mf

8. 1f = f

所以 P(t) 构成向量空间

又因为 1,t,t^2,t^3,.....,t^n,.... 线性无关, 且P(t)中任一多项式 f 都可由它线性表示

所以 P(t) 是无限维向量空间.

Answer 2

未仔细学过线性代数, 我想解法应该是这样吧:
假设P(t)存在一组基{p1, p2, ..., pn}可以span P(t)
设t=max{deg(p1), deg(p2), ..., deg(pn)}, 这里deg即是多项式最高一项的指数
取p_k=x^(t+1), 从而deg(p_k)=t+1>p_i, i是1至n的任意整数

deg(p1+p2)=max{deg(p1), deg(p2)}
且对任意非零实数c, deg(c*p1)=deg(p1)
c=0没什麽好说

因此{deg(p1), deg(p2), ..., deg(pn)}不能span p_k.
从而命题得证.

献拙了, 要是我误解了或有错漏请直指不讳