设f(x)=|x^2-2x|求具体过程
2.若关于x的方程f^2(x)-mf(x)+2m-3=0有六个不同实根，求m取值范围。注意^2是平方的意思 展开
f(x)=1
|x²-2x|=1
(x-1)²=±1+1=0或2
x=1或x=1±√2
所以方程f(f(x))=1全等于方程f(x)=1或1±√2
即|x^2-2x|=1或1±√2
方程|x^2-2x|=1的根为x=1或x=1±√2，共3个根
1-√2<0，方程|x^2-2x|=1-√2无实数根
方程|x^2-2x|=1+√2
x²-2x=±(1+√2)
(x-1)²=2+√2或-√2
(x-1)²=2+√2
x=1±√(2+√2), 共2个根，且均与1、1±√2不相等。
所以原方程f(f(x))=1共有5个实数根
[f(x)]² -mf(x) +2m-3=0
[f(x)- (m/2)]² = (m²/4) -2m +3
因为关于x的原方程有六个不同实根，
所以关于f(x)的原方程必有两个不同实根, 且均不小于0。
所以(m²/4) -2m +3 > 0
m²-8m+12>0
(m-2)(m-6)>0
m<2或m>6
原方程即：
|x²-2x| = f(x) = (m/2) ±√[(m²/4) -2m +3] = 1/2[ m±√(m²-8m+12) ]
即:2|x²-2x| = m±√(m²-8m+12) (m<2或m>6)有6个不同的实数根
所以m-√(m²-8m+12)≥0 (m<2或m>6)
m≥√(m²-8m+12) (0≤m<2或m>6)
m²≥m²-8m+12 (0≤m<2或m>6)
8m≥12 (0≤m<2或m>6)
所以, 1.5≤m<2或m>6
所以, 2|x²-2x| = m±√(m²-8m+12) (1.5≤m<2或m>6)有6个不等实数根
当m-√(m²-8m+12)=0即m=1.5时，
方程2|x²-2x| = m-√(m²-8m+12) 即2|x²-2x|=0有两个实数根x=0及x=2。
方程2|x²-2x| = m+√(m²-8m+12) 即2|x²-2x|=3即x²-2x=±3/2即(x-1)²=2.5或-0.5,有两个不相等实根x=1±√2.5
所以，此时，原方程只有4个不同的实根，不合题意，排除。
当1.5<m<2或m>6时，
2(x²-2x) = m±√(m²-8m+12) 或 -m±√(m²-8m+12)
2(x-1)² = 2+m±√(m²-8m+12) 或 2-m±√(m²-8m+12)
因为此时，m+√(m²-8m+12)≥m-√(m²-8m+12)≥0
所以2+m±√(m²-8m+12)≥2>0
所以方程2(x-1)² = 2+m±√(m²-8m+12)有四个实数根。
要使原方程有6个实数根，则方程2(x-1)² = 2-m±√(m²-8m+12)有两个实数根。
所以[2-m+√(m²-8m+12)] [2-m-√(m²-8m+12)]<0 (1.5<m<2或m>6)
-√(m²-8m+12) < 2-m < √(m²-8m+12) (1.5<m<2或m>6)
(2-m)² < (m²-8m+12) (1.5<m<2或m>6)
m²-4m+4 < m²-8m+12 (1.5<m<2或m>6)
4m<8 (1.5<m<2或m>6)
所以, 1.5<m<2
所以m的取值范围为(1.5,2)
令f(x)=t,则原式:f(t)=1
即|t²-2t|=1
t₁=1,t₂=1+跟2，t₃=1-跟2
又f(x)=t
所以f(x)=1得到x₁=1,x₂=1+跟2，x₃=1-跟2
f(x)=1-跟2无解
f(x)=1+跟2 得到两个跟（不好表示，自己算吧）
所以共有5个跟
原式变成t²-mt+2m-3=0
首先二次方程有两个跟：Δ=m²-4(2m-3)>0得到m<2或m>6............(1)
用t₁,t₂表示两根
因此有f(x)=t₁.................................................................(2)
f(x)=t₂............................................................................(3)
因为方程有六个不同的实数根
所以（2）式两个跟，（3）四个跟
此时可以两种情况
一、t₁>1,0<t₂<1
根据二次方程根的分布有：
2m-3>0
1-m+2m-3<0
根据上式得到3/2<m<2。。。。。。。。。。。。。。。（4）
二、t₁=0,0<t₂<1
同样根据二次方程根的分布问题有
2m-3=0
1-m+2m-3>0
0<m/2<1
根据上式得到m无解
所以，由（1）（4）m的取值范围是3/2<m<2
