Question

一道复数几何题，请用复数解，谢谢大家了

已知四边形ABCD,DCFE,ECGH是正方形，求证∠1+∠2+∠3=π/2

Answer 1

做出来啦！！复数方法！！

依据是复数乘法的几何意义

设AB=a,B为原点建立坐标系

D对应复数  a+ai

(a+ai)(2a+ai)(3a+ai)=10i*a*a*a 辐角主值为90度  故成立

不懂的欢迎追问！！

参考：

定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。

证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)

= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

=r1r2e i(θ1+θ2)

因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2

几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

  

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。

Answer 2

以B为原点建立复平面直角坐标系，利用赋值法，设BC＝1，使有关点的坐标为：
B（0，0）、D（1，i）、E（2，i）、F（3，i）。
∴向量BD、向量BE、向量BF对应的复数依次是：1＋i、2＋i、3＋i。
容易证得：arg（1＋i）＝∠1、arg（2＋i）＝∠2、arg（3＋i）＝∠3。
∴∠1＋∠2＋∠3
＝arg（1＋i）＋arg（2＋i）＋arg（3＋i）
＝arg［（1＋i）（2＋i）（3＋i）］
＝arg［（1＋3i）（3＋i）］
＝arg（10i）
＝π/2。

Answer 3

这跟复数啥关系
由正方形得角1=45度
tan角2=1/2 tan角3=1/3
由tan合角公式得：tan(角2+角3)=(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)=1
那么角2+角3=45度
∠1+∠2+∠3=90度=π/2

追问

我问的是用复数解，不是用别的解法，谢谢了