Question

在等比数列{an}中，a1＞0，且a3-a2=8，又a1，a5的等比中项为16

（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn=log4an，数列{bn}的前n项和为sn，是否存在正整数k，使得1/s1+1/s2+1/s3+…+1/sn＜k对任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值，若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)a1,a5的等比中项为16
所以a3=16或-16
若a3=-16,则a2=-24不合题意
所以a3=16
a2=8

因此an=2^(n+1)
(2)bn=(n+1)/2
Sn=n(n+3)/4
1/Sn=4/[n(n+3)]=4/3[1/n-1/(n+3)]
所以1/S1+1/S2+...+1/Sn=4/3(1-1/4)+4/3(1/2-1/5)+...+4/3(1/n-1/(n+3))
=4/3[1+1/2+1/3-1/(n+1)-1/(n+2)-1/(n+3)]<22/9
因此k的最小值为3