Question

高2数学问题

用数学归纳法证明不等式1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号n<2根号n.

Answer 1

（1）当n=1时，显然不等式成立。
（2）假设当n=k∈N*时，不等式成立即1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号＜2根号n，则当n=k+1时有：1+1/根号2+……+1/根号n + 1/根号（n+1）＜2根号n + 1/根号（n+1）
将2根号n + 1/根号（n+1）通分然后乘以根号（n+1）然后减1并平方得：4n^2+4n
将2根号（n+1）乘以根号（n+1）然后减1并平方得4n^2+4n+1
则2根号n + 1/根号（n+1）＜2根号（n+1）
即1+1/根号2+……+1/根号n + 1/根号（n+1）＜2根号n + 1/根号（n+1）＜2根号（n+1）则不等式也成立。
由（1）（2）得对任意n∈N*都有1+1/根号2+1/根号3+……+1/根号n<2根号n成立。
尤其注意（2）中必须用上递推归纳即1+1/根号2+……+1/根号n + 1/根号（n+1）＜2根号n + 1/根号（n+1）
并且当n=k+1时必须时刻描准目标即证明1+1/根号2+……+1/根号n + 1/根号（n+1）＜2根号（n+1）成立
必要时用分析法从反面入手，对付根号常用平方。