Question

高等数学微积分求极限的问题

图中第三题，画圈的cosx能不能直接→1？ 如果不行为什么不行？行的话 然后就按照左边手写笔的步骤，最后求出的答案和原答案却不一样 。谢谢！！
唔 貌似x²/x²是1然后极限=0 但是那还是不一样阿？

Answer 1

不能，因为原式分子整体→0，分母也→0，属于0/0型，所以分子必须当做整体处理，只能转化为等价无穷小，否则将分子部分直接取值实际上改变了极限的大小。比如这里的1-cosx~x²，若将cosx直接等于1则1-cosx=0，而实际上x²显然不等于0，虽然他是一个无穷小量，但也是有大小的。

追问

好吧！ 还有个问题 那要照着答案的算法 最后一步怎么得出数来的 不是加减运算中不能用等价无穷小么？

追答

加减运算中可以并且只可以用等价无穷小，你可以这么理解。比如lim(x→0)(1-cosx/x²)=lim(x→0)[(x²/2)/x²]=1/2,先用等价无穷小转化为同阶然后约掉就好了，并不是1-cosx=0

Answer 2

不能，cosx=1，那么1-cosx=0，lim（1-cosx)/x^2=0,但是明显lim（1-cosx)/x^2=1/2，所以cosx=1-1/2x^2+o(x^2），只有不考虑后面无穷小时才能为1，而题中分母x^2也是2阶无穷小，是具有可比性

Answer 3

只有乘积的时候才能代入。加减的时候没有这种特权