Question

已知函数fx=lnx+a(x+1)

1求单调性2求在［1，2］的最大值 我求导什么的都会 定义域也考虑了 就是最后递增递减不太清楚 麻烦吴老师指导一下

Answer 1

定义域x>0
求导f'(x)=1/x+a 令f'(x)>0可得1/x>-a,即ax>-1
当a>0时，x>-1/a, 即f'(x)=1/x+a在x>0上为增函数
当a<0时, x<-1/a，即增区间为（0，-1/a），减区间为x>-1/a

Answer 2

导数为正时递增，导数为负时递减。
然后分类讨论。

（1）函数定义域为 R+ ，
f '(x)=1/x+a=(1+ax)/x ，
当 a<0 时，由 f '(x)>0 得 0<x< -1/a ，由 f '(x)<0 得 x> -1/a ；
当 a>=0 时，f '(x) 恒大于 0 ；
所以，a>=0 时，函数在 （0，+∞）上为增函数，
a<0 时，函数在（0，-1/a）上增，在（-1/a，+∞）上减。
（2）由（1）可得，当 a>=0 时，函数在 [1，2] 上为增函数，因此最大值为 f(2)=ln2+3a ；
当 a<0 时，如果 -1/a<1 即 a< -1 ，那么函数在 [1，2] 上为减函数，因此最大值为 f(1)=2a ；
如果 -1/a>2 即 -1/2<a<0 ，那么函数在 [1，2] 上为增函数，因此最大值为 f(2)=ln2+3a ；
如果 1<= -1/a<=2 即 -1<=a<= -1/2 ，那么函数在 [1，-1/a] 上增，在 [-1/a，2] 上减，
因此最大值为 f(-1/a)=ln(-1/a)+a-1 ，
综上可得，函数在 [1，2] 上的最大值为
max=｛2a (a<-1) ；ln(-1/a)+a-1(-1<=a<= -1/2) ；ln2+3a(a> -1/2) 。（分段的，写成三行）