Question

一个扇形周长为c,扇形的圆心角弧度是多少时,这个扇形面积最大,最大面积是多少

Answer 1

设扇形的圆心角弧度是a，半径是r
则c=2r+ar
所以r=c/(a+2)
S=1/2*ar*r=ar²/2=ac²/2(a+2)²
1/S=2(a²+4a+4)/ac²=(2/c²)(a+4+4/a)
≥=(2/c²)(4+2√[a*(4/a)])
=(2/c²)(4+4)
=16/c²
当且仅当a=4/a,即a=2(a=-2舍去)时，取等号
此时1/S取得最小值，即S取得最大值。
所以扇形的圆心角弧度是2时,这个扇形面积最大,最大面积是c²/16

Answer 2

设扇形半径为r，圆心角为a,面积为S，弧长为L
所以L=ar, S=1/2 (Lr)=1/2 (ar*r)
周长 c=L+2r=ar+2r
=> ar=c-2r
代入上式，得
S=1/2 (c-2r)r
=> S= -(r-1/4 c)*(r-1/4c)+1/16 c*c
所以，当r=1/4 c时，S最大，S=1/16 c*c
此时 a=2