Question

设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=(1/2)^x-1．若函数0=f（x）-loga（x+2）（a＞1）在区间（-2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是

Answer 1

设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),且当x∈[-2,0]时，f（x）=（1/2）^x-1,若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有三个不同的实数解，则a的取值范围是
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[-2，0]时，f（x）=（1/2）^x-1；
∴当x∈[0，2]时，f(x)=2^x-1；
又因为f(2-x)=f(2+x)，故f(x)又是周期为4的周期函数；故当x∈[2，4]时,f(x)=(1/2)^(x-4)-1；
而当x∈[4，6]时f(x)=2^(x-4)-1；故f(6)=2^(6-4)-1=3；f(2)=2²-1=3；
画出[-2，6]内f(x)的图像：
[-2，0]：f(x)=(1/2)^x-1；
[0，2]：f(x)=2^x-1；
[2，4]：f(x)=(1/2)^(x-4)-1；
[4，6]：f(x)=2^(x-4)-1.
为使关于x的方程f（x）-log‹a›(x+2)=0恰有三个不同的实数解，即要使y=log‹a›(x+2)与上面画
的四条曲线恰有三个交点， 唯一的办法就是使y(6)=log‹a›(6+2)=log‹a›8=log‹a›2³>3，也就
是要使log‹a›2>1，即要使a<2；且y(2)=log‹a›(2+2)=log‹a›4<3，即要使a³<4，也就是要使
a>4^(1/3)；故得a的取值范围为：4^(1/3)<a<2.

数形结合，利用函数的对称、周期、单调、交点：

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．