Question

如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，

FH=l四边形EFGH的面积为S.试用kLS表示正方形ABCD的面积.

Answer 1

引理：sinθ=2S\kl
证明：S=S△EFG+S△EHG，
=S△EOF+S△GOF+S△EOH+S△GOH，
=1\2 EO•OF•sinθ+1\2GO•OF•sin(180°-θ)
+1\2EO•OH•sin(180°-θ)+1\2 GO•OH•sinθ
=1\2EG•OF•sinθ+1\2EG•OH•sinθ
=1\2EG•FH•sinθ=1\2kl•sinθ
所以sinθ=2S\kl
（2）解：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a，PQ=b，QR=c，
则b=根号（k2 -a2）， c=根号（l2 -a2），
由S△AEH=S△TEH，S△BEF=S△PEF，S△GFC=S△QFG，S△DGH=S△RGH
得SABCD+SPQRT=2S，
∴a2+bc=2S， 即a2+根号（k2-a2）•根号（l2-a2 ） =2S，
∴（k2+l2-4S）a2=k2l2-4S2，
由引理知kl=2S\sinθ＞2S，
所以k2+l2≥2kl＞4S，
故SABCD=a2=(k2l2-4S2)\(k2+l2-4S)

追问

则b=根号（k2 -a2）， c=根号（l2 -a2），
这个没懂

追答

 

你就当作把BC向上平移至点G

则△EBG为直角三角形，用勾股定理

求出的直角边就是PQ