Question

计算曲面积分（如图，图中双重积分符号下面少了∑符号）

其中f(x,y,z)是连续函数，∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧

Answer 1

利用两种曲面积分的关系，第一步，先都转化成对dxdy的曲面积分：
原式=∫∫（f+x）cosαdS+（2f+y）cosβdS+（f+z）dxdy
=∫∫（f+x）cosα/cosγ*dxdy+（2f+y）cosβ/cosγ*dxdy+（f+z）dxdy★

因为∑是平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧，所以可以求出cosα=cosγ=1/√3，cosβ= - 1/√3。

代入★中得到原式=∫∫[（f+x）-（2f+y）+（f+z）] dxdy
=∫∫dxdy▲=曲面∑的面积。

或者，第二步，再把▲化成二重积分：
记Dxy是平面x-y+z=1在xoy坐标面上的投影，
则原式=∫∫dxdy=∫∫（Dxy）dxdy=Dxy的面积=0.5。