Question

设数列{an}满足a1=1 a(n+1)-an=1/2^n(n∈N*)

（1）求数列{an}的通项公式
（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn

Answer 1

a(n+1)-an=1/2^n
an-a(n-1)=1/2^(n-1)

an-a(n-1)=1/2^(n-1)
......
a3-a2=1/2^2
a2-a1=1/2^1
以上等式相加得
an-a1=1/2^1+1/2^2+.......+1/2^(n-1)
an-a1=1/2*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
an-1=1-(1/2)^(n-1)
an=2-(1/2)^(n-1)

bn=nan
=n[2-(1/2)^(n-1)]
=2n-n*(1/2)^(n-1)

sn=2*1-1*(1/2)^0+2*2-2*(1/2)^1+.........+2n-n*(1/2)^(n-1)
sn=2*(1+2+....+n-1)-[1*1/2^0+2*1/2^1+.........+n*1/2^(n-1)]
sn=n(n-1)-[1*1/2^0+2*1/2^1+.........+n*1/2^(n-1)]
sn/2=n(n-1)/2-[1*1/2^1+2*1/2^2+.........+n*1/2^n]
sn-sn/2=n(n-1)/2-[1/2^0+1/2^1+1/2^2+.......+1/2^(n-1)-n*1/2^n]
sn/2=n(n-1)/2-[(1-1/2^n)/(1-1/2)-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[(1-1/2^n)/(1-1/2)-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[2*(1-1/2^n)-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[2-2*1/2^n-n*1/2^n]
sn=n(n-1)-2*[2-(n+2)/2^n]
sn=n(n-1)-4+2(n+2)/2^n
sn=n(n-1)+(n+2)/2^(n-1)-4

Answer 2

(1)a(n+1)-an=1/2^n
设a(n+1)-λ/2^(n+1)=an-λ/2^n
∴a(n+1)=an-λ/2×1/2^n
∴λ=2
∴a(n+1)-1/2^n=an-1/2^(n-1)=,,,=a1-1/2^0=1-1=0
∴an=1/2^(n-1)
(2)bn=nan=n/2^(n-1)
∴Sn=1/2º+2/2¹+3/2²,,,+n/2^(n-1)
1/2Sn=1/2¹+2/2²+..+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n
两式相减：
∴1/2Sn=1/2º+2¹+..+1/2^(n-1)-n/2^n
=1(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^n
=2-2/2^n-n/2^n
=2-(n+2)/2^n
∴Sn=4-(n+2)/2^(n-1)

明教为您解答，
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希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!

Answer 3

a2-a1=1/2
a3-a2=1/2^2
a4-a3=1/2^3
、、、、、、
a(n-1)-a(n-2)=1/2^(n-2)
an-a(n-1)=1/2^(n-1)
以上相加得
an-a1=1/2+1/2^2+1/2^3+、、、+1/2^(n-1)
=1-1/2^(n-1)
即 an=2-1/2^(n-1)

bn=nan=2n-n/2^(n-1)
Sn=(2-1)+(4-2/2)+(6-3/2^2)+、、、、+[2n-n/2^(n-1)]
=2(1+2+3+、、、+n) - [1+2/2+3/2^2+4/2^3+、、、+n/2^(n-1)]
=n(n+1) -
下面不记得怎样计算了