Question

关于x的方程x2+2x+2√(x2+2x+2p)-p2=0

√是庚号
若方程没有实数根，求p的取值范围
当p＞0 问p为何值，方程只有一个实数根 并求出这个根
答案的草稿是这样的……希望能把它完整规范的写下来 谢谢

Answer 1

令 √(x²+2x+2p) = y ≥0，方程可以化为:
x²+2x+2p + 2√(x²+2x+2p) + 1 = p²+2p+1
[√(x²+2x+2p) + 1 ]² = (p+1)²
(y+1)² - (p+1)² = 0 => y = p 或 y = -p-2
对于 y=p : x² +2x + 2p-p²=0 判别式△ = 4-8p+4p² =4(p-1)²≥0
这说明，当p≥0时，y(x) = p 这个方程总是有解的，因此要满足无解的条件则必须有 p<0
同理对于y=-p-2 => x²+2x+2p-(p+2)² = 0，判别式>0
所以当-p-2≥0时，方程也会有解，因此要满足题意必须有 -p-2<0
于是第一问的答案就是 -2<p<0
(2)
p>0时，根据前面的讨论
若 y = p => x² +2x + 2p-p²=0 此方程有两个相等实数根，则判别式=0，即p=1，从而x1=x2=-1
若 y = -p-2 => x²+2x+2p-(p+2)² = 0，判别式>0 不可能有两个相等的实数根
因此 p=1时 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-1