Question

关于高中数学抛物线的问题

抛物线y2=x，经过此抛物线的焦点和等M（1,1），且与准线相切的圆共有（ ）
答案：2个
请告诉我是怎样算出来的？

Answer 1

类似于这样的题目，有时候不一定非要搞一大堆算式来找答案，我的数学老师曾教过我们很多“技巧”、
单这一题，你可以想一下，y2=x 这个抛物线以及他的准线的大致位置，不用管他的值多少，形状确定就ok。
要同时满足：
①、经过此抛物线的焦点和点M（1,1）；
②、且与准线相切的圆

由此可以得出结论：无论有几个圆，这些肯定是在准线的右侧。
而且点M（1,1）明显是在抛物线上，焦点是在X轴上。
综上可以得出最终结论：在某一条平行于Y轴的直线右侧，而且和这条直线相切，同时经过了右侧2个点。不用想了，这样的圆只有2个，一个是下半圆经过这2个点（大圆），另一个是上半圆经过这2个点（小圆）

以后在考试中，如果遇到这样的选择题或者是填空题，也不要上来就忙着去计算这个值多少，那个距离多少。首先要做的是，先想一下他们的大致位置，如果这一题是选择或填空，可以直接写答案。如果是大题，那么你也可以根据事先得出的结论来计算（如果是考试的时候，而且又实在不知道怎么计算的情况下，你就把明显的东西一个一个算出来，最后把你可以预测的结果写上。阅卷老师表面上看看，有计算过程，结论又是对的，肯定满分毫无疑问。当然，遇到特别认真的老师除外。。。）

Answer 2

由给定的抛物线方程y^2＝x，可知：抛物线焦点F的坐标为（1/4，0）。
∵要求的圆过抛物线的焦点，又与抛物线的准线相切，
∴要求的圆的圆心到抛物线焦点与到抛物线的准线距离相等，∴要求的圆的圆心在抛物线上。
∵要求的圆过点F（1/4，0）、M（1，1），∴要求的圆的圆心G在FM的中垂线上。

由中点坐标公式，容易求出FM的中点坐标为（5/8，1/2）。
FM的斜率＝（1－0）/（1－1/4）＝4/3，∴FM的中垂线的斜率＝－3/4。
∴FM的中垂线方程为：y－1/2＝－（3/4）（x－5/8），即：y＝－（3/4）x＋31/32。

显然，方程组y^2＝x、y＝－（3/4）x＋31/32的根就是点G的坐标。
联立：y^2＝x、y＝－（3/4）x＋31/32，消去y，得：［－（3/4）x＋31/32］^2＝x，
∴（3/4）^2·x^2－2×（3/4）×（31/32）x＋（31/32）^2＝x，
∴（3/4）^2·x^2－［2×（3/4）×（31/32）＋1］x＋（31/32）^2＝0。
∴方程的判别式
＝［2×（3/4）×（31/32）＋1］^2－4×（3/4）^2×（31/32）^2
＞［2×（3/4）×（31/32）］^2－4×（3/4）^2×（31/32）^2
＝0。
∴方程（3/4）^2·x^2－［2×（3/4）×（31/32）＋1］x＋（31/32）^2＝0有两个实数根，
∴点G有两个，∴⊙G有两个。

Answer 3

经过此抛物线的焦点和等M（1,1）

这段话看不懂啊。
是否是经过此抛物线的焦点和点M（1,1）？

如果是的话，考虑抛物线特性，就是到准线和焦点距离相等的点的集合。
和准线相切，那圆心到准线的距离就是圆的半径。
过焦点，那圆心到焦点的距离就是圆的半径。
所以这个圆心到准线和到焦点的距离相等，所以这个圆心就在抛物线上。
圆还需要过点M，所以圆心就在抛物线和焦点与M的中垂线上，这样有2个交点。
所以有2个圆心，而半径就是这个心到焦点的距离。
所以有2个圆。
根据上面思路就能计算了。

追问

不好意思，打错了，是焦点和点M

追答

中垂线和抛物线可能有2个焦点也可能1个，这个需要计算确定。