Question

一点在潘氏《初等数论》中看不懂的....

谁能解释一下什么是最大自然数原理和最小自然数原理，我对这个概念比较模糊，而且他说的也比较模糊
顺便问一下，什么学历学初等数论为佳

Answer 1

有的书所用数学语句对初学者确实困难, 请不要气馁, 多接触多思考渐渐就会习惯

要了解一个数学证明, 第一件事先注意条件是什麼. 你所谓的最小自然数原理有两个条件: 1. T 必须是"自然数"的子集合 2. T 必须是非空. 这两个条件缺一不可(例如正有理数的子集就不对). 接下来就是注意证明里何时用到这两个条件.

这个原理直观上很好理解, 只要找到 T 中最小的元素就好了. 但是为什麼 T 中会有最小元素呢? 我们直觉的想法就是先看看 1 是否在 T 中, 如果是那麼1 就是 T 中最小的元素了, 如果不是就看看 2 是否在其中. 若有那麼2就是最小元素, 否则就继续找下去, 这就是数学归纳法的精神.

现在问题是怎样把这个过程写下来? 这是数学证明里一个重要的步骤. 总不能你说了算, 必须用大家熟悉的数学语言将他表达出来. 这有许多方法可以做到, 我们就沿用你提供的证明. 先找一个集合 S, 这个集合的元素是将所有会小於等於任何 T 中的元素的自然数都蒐集起来. 这时因为 1 必会小於等於 T 中任何的元素, 所以知 S 是非空的. 再加上 T 本身也是非空的, 我们可以在 T 中任取一个元素 t, 我们不知道这个 t 会不会小於等於其他 T 中的元素, 但是 t+1 一定不可能小於等於所有 T 中的元素 (至少他大於 t) 所以得知 t+1 一定不在 S 中. 现在事情好办了, S 是非空的且 t+1 不在 S 中 (因此任何大於 t+1 的自然数也不在 S 中), 所以 S 是自然数的一个有限子集, 当然就可以找到 S 中最大的元素了. 接下来你要做的工作就是(利用反证法)证明这个 S 中的最大元素也在 T 之中, 所以它就是 T 的最小元素了. 当然你也可以利用证明中所说利用数学归纳法证明 S 中必有一个元素在 T 中, (因为若 n 在 S 但不在 T 则 n+1 必在 S, 故依数学归纳法得证 S 为整个自然数这和前面已知 t+1 不在 S 相矛盾), 并依此得知此元素就是 T 中的最小元素.

高中吧。

追问

您好，我是一个初一的学生，学习初等数论也很长时间了，但是最小自然数原理这里总是不太明白，其实我是困惑，原理是要说明任意一个集合中存在最小自然数，还是如何，单说存在最小自然数的话，用个反证法就很好解决，可我看这个证明，并非是我想的这么简单，希望可以探讨一下
而且我感觉数论这东西，并不是不需要任何数学功底，相反，他需要的更多，而且更难

追答

就是你说的那个意思。其实从主观上很好理解，但严格证明就是要上述过程，就是这么回事。
你说的那个反证法是怎么做
当然 数论都是大学里学的 想必你也是个数学爱好者吧

追问

反证法
如果存在一非空集合A，没有最小元素

那么取a1∈A，就存在a2∈A，a2<a1

由于a2不是最小元就能取到a3<a2

以至类推，就能找到无穷多个自然数小于a1

这是不可能的，因为小于a1的自然数只有
0,1...,a1-1 是a1个，
所以是存在最小自然数的，这是比较不错的证明方法，你觉得哪？
对，我是个数学爱好者，尤其喜欢这种挑战性的数论，感觉给人的感觉很奇妙

Answer 2

初等数论的话都行吧，感觉数论这东西不需要太多数学基础和分析代数都不同比较独立，没啥学历要求吧。你所说的最大数最小数原理其实对于后面知识并没啥影响了解就好啦。

Answer 3

什么学历学初等数论为佳－－－－－－－数学专业、大二或大三

追问

我是个初一学生，学习蛮长时间了，基本也还可以理解、运用