Question

已知k∈R，

已知k∈R,关于x，y的方程y^4+4y³+(2x+2kx-kx²)y²+8xy+(4kx²-2kx³)=0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k值与曲线形状的关系？

Answer 1

解答：
先利用特殊值找到固定的抛物线
令k=0
则 y^4+4y³+2xy²+8xy=0
即 y³(y+4)+2xy(y+4)=0
∴ (y²+2x)(y+4)y=0
∴ 抛物线y²+2x=0
下面凑出y²+2x这个因式即可
y^4+4y³+(2x+2kx-kx²)y²+8xy+(4kx²-2kx³)=0
∴ y^4+2xy²+4y³+8xy+k(2xy²-x²y²+4x²-2x³)=0
∴ y²(y²+2x)+4y(y²+2x)+k[2x(y²+2x)-x²(y²+2x)]=0
即 (y²+2x)(y²+4y+2kx-kx²)=0
即 (y²+2x)[(y+2)²-k(x-1)²+k-4]=0
（1）y²+2x=0表示抛物线
（2）(y+2)²-k(x-1)²+k-4=0
① k=0, y=0,y=-4,是两条直线
② k=-1, 表示圆
③ k=4, 是两条相交直线
④ k>0且k≠4,表示双曲线
⑤ k<0且k≠-1，表示椭圆。

追问

这个题如果没说有一条是固定的抛物线

是不是也可以做，只是难度更大呢？

追答

肯定可以做啊，
相当于少了一个提示而已。
难度显然更大。

Answer 2

老大，你来忧民吗？
①当k=－1时，表示圆和抛物线；
②当k>0且k≠4时，表示双曲线和抛物线；
③当k<0且k≠－1时，表示椭圆和双曲线。

Answer 3

我K,大神的大神都会出来提问,

我还以为太阳打西边出来了,

凑个热闹呵呵...