Question

求极限lim(n->无穷)[(2^(1/n)/(n+1))+(2^(2/n)/(n+1/2))+……+(2^(n/n)/(n+1/n))]

Answer 1

改写通项：1/(n+1/k) 2^(k/n)=1/n[1-1/(nk+1)]2^(k/n)=1/n 2^(k/n)-1/[n(nk+1)]2^(k/n)

1/[n(nk+1)]2^(k/n)<1/(n^2), 从而所对应的极限为零。

而第一项为等比数列求和，再利用lim_{x->0}(2^x-1)/x=ln 2, 可得最后极限为ln 2.

追问

这个定积分怎么算呀？我看的答案是lim(n->无穷)n/(n+1)∑(2^i/n)*1/n=积分（0,1）2^xdx，这步不是很明白的

追答

当然也可以用定积分的定义来做。考虑2^x, x\in [0,1]的定积分的定义：将区间[0，1] n等分，取每个小区间的右端点处的函数值来算就是你提到的求和公式（也就是所谓的黎曼和）。如果对这个不熟悉的话，你得看看书上定积分的定义。

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示