Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1,a.b∈R，若f（-2）=-1，求f（2）

Answer 1

【答案】：（1）f(2)=3;
（2）f(2)=5/3;
（3）f(2)=-1

【解析】：这是一个要分类讨论的题目。因为条件里说了，a.b∈R
对二次函数来说，最重要的几个地方不外乎是开口方向、对称轴、以及对称轴处取得的最大或最小值。
但是，这个题目里的函数是否是一个二次函数呢？这首先就很值得注意。
如果它是一个二次函数，那么a不等于0。因此，我们先讨论a的取值情况。

【1】a=0的情况
a如果等于0，那么题目就很简单，原函数就可以化简为f(x)=-bx+1（一次函数）
利用已知条件f(-2)=-1,
可得f(-2)=-b×(-2)+1=2b+1=-1，所以，2b=-2，b=-1.
因此，函数为f(x)=x+1.
所以，f(2)=2+1=3.

【2】a≠0的情况

在a≠0时，f(x)是一个二次函数。
我们代入x=-2，得到a、b之间的一个关系式：4a+2b+1=-1,4a+2b= -2①
然后，还有一个题目中的隐含条件值得注意，当x=0的时候，f(0)=1，
就是说，函数是恒过（0,1）这个点的，这对我们后面的讨论是后帮助的。

但是，这个二次函数的开口方向是不确定的，需要再进一步分类讨论。
（1）a＞0的时候，开口向上。
已知函数过（-2,-1）、（0,1）这两个点。根据二次函数的单调性，我们发现，在-2到0这一段里面，函数是单调递增的，而函数的开口又是向上的，所以，我们可以得到一个条件：对称轴必然是在x=-2这里或x=-2的左侧。
表述成不等式，就是：-b/2a≤-2，根据关系式①，我们把a用b替换掉，得b≥-2b-2,3b≥-2，
所以有b≥-2/3【b的取值范围条件一】；
然后，还是利用对称轴这个条件，二次函数在对称轴处取得最值，现在是开口向上的情况，所以，在对称轴处取得最小值，所以必然有一个条件：f(-b/2a)≤-1
f(-b/2a)=3b^2/4a + 1≤-1，还是根据关系式①把a用b替换掉
得：3b^2/(-2-2b) ≤ -2，
整理得，3b^2-4b-4≥0，根据十字相乘法分解因式得：(b-2)(3b+2)≥0
解这个一元二次不等式，结果是b≤-2/3 或者b≥2【b的取值范围条件二】

联合两个b的取值范围的条件，我们发现，同时满足这两个条件的情况是唯一的，也就是b=-2/3的时候。这样，我们就得到了确切的b的值。

所以，f(2)=4a-2b+1=-2-2b-2b+1= -4b-1= -4×(-2/3)-1=5/3

（2）a＜0的时候，开口向下
同样地，还是重点研究对称轴以及对称轴处的最值情况。
开口向下时，函数在[-2,0]上递增，这就说明，对称轴X=-b/2a≥0，且f(-b/2a)≥1.
根据这两个条件展开，得：b≤0；
3b^2/4a≥0
——因为b^2必然是恒大于等于0的，而我们讨论的前提条件是a＜0，不可能一个正数除以负数还会大于0，所以，此时，b就只能等于0

b=0，f(-2)=4a+1=-1,a=-1/2;
f(2)=4a+1=-1.

【综述】：这是一道考察函数性质的题目，算是中等题。陷阱之一是，可能一开始没有讨论a的取值就把该函数表达式当作了二次函数。其他的都还好，只要对二次函数的性质、不等式的性质有初步了解和运用就好，我写写是花了挺长时间的，但是想通了是很简单的。有不懂的，再追问我吧。就这样，希望对LZ有帮助。

Answer 2

一个的等式我求不出。要有两个就好