Question

线性代数：R(A)=R(AB)的充要条件。

还有一个问题，若A,B均不是0矩阵，条件能否简化？

Answer 1

A为0阵，或，B为满秩矩阵《=》r（A）=r（AB）这个就是充要条件，没别的要求了

这里有几点要注意
1，B为满秩矩阵，要注意满秩矩阵的定义，只要是满秩矩阵必为方阵，而且是非零方阵。这个条件已经将B的所有条件都限定了，不需要额外加任何条件。
2，由于A行元素个数和B列元素个数相等才能进行矩阵乘法，所以在B为满秩矩阵情况下，必然有
r（B）》=r（A），这个不需要特殊说明，必然成立。

说一下r（A）=0或r（B）=0时对上述表达的影响
A为0阵时，r（A）=r（AB）永远成立，但反推不一定成立，就是说，A=0是充分条件，不是充要条件
B为0阵时，r（A）=r（AB）不一定成立，反推也不一定成立，就是说B=0是既不充分也不必要条件
综上所述，A=0对表达有影响，B=0对表达没影响。
所以说，A、B均不为0时
B为满秩矩阵《=》r（A）=r（AB） 互为充要条件

Answer 2

必要性
若A=零矩阵，显然等式成立

A不为零矩阵时，设A为m*n矩阵，B为n*p矩阵
有R(AB)>=R(A)+R(B)-n
R(AB)<=min{R(A),R(B)}
R(A)=R(AB)推出min{R(A),R(B)}=R(A)+R(B)-n=R(A)＞0
则R(B)=n>=R(A)＞0
充分性只要逆着写一遍就是了
所以充要条件为A为零矩阵或R(B)=n>=R(A)＞0
A，B都不是零矩阵则充要条件为R(B)=n>=R(A)＞0